Question

Перевірити, чи є компланарними вектори a={3;0;3}, b={8;1;6}, c={1;1;-1}.

Answer 1

Ответ:

Векторы $\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}, \overrightarrow{c} \ -$ компланарны

Примечание:

Теорема о разложении или теорема Лапласа:

Значение определителя матрицы равно сумме произведений элементов некоторой строки (столбца) на их алгебраические дополнения.

Минором элемента $a_{ij}$ определителя порядка $n$ называется определитель порядка $(n - 1)$, полученного из данного вычеркиванием

$i$-й строки и $j$-го столбца и обозначается в виде $M_{ij}$.

Алгебраическим дополнением элемента $a_{ij}$ называют число:

$A_{ij} = (-1)^{i + j} \cdot M_{ij}$

Смешанное произведение векторов $\overrightarrow{a}(a_{x};a_{y};a_{z}),\overrightarrow{b}(b_{x};b_{y};b_{z}),\overrightarrow{c}(c_{x};c_{y};c_{z}):$

$\overrightarrow{a} \cdot [\overrightarrow{b} \cdot \overrightarrow{c} ] = \begin{vmatrix} a_{x} & a_{y} & a_{z} \\ b_{x} & b_{y} & b_{z} \\ c_{x} & c_{y} & c_{z} \end{vmatrix}$

Определитель матрицы не меняется при элементарном преобразовании матрицы.

$r_{n}$ - строка с номером n

$c_{n}$ - столбец с номером n

Пошаговое объяснение:

Векторы:

$\overrightarrow{a}(3;0;3)$

$\overrightarrow{b}(8;1;6)$

$\overrightarrow{c}(1;1;-1)$

По теореме векторы компланарны, если их смешанное произведение равно нулю.

Смешанное произведение векторов:

$\overrightarrow{a} \cdot [\overrightarrow{b} \cdot \overrightarrow{c} ] = \begin{vmatrix} 3 & 0 & 3 \\ 8 & 1 & 6 \\ 1 & 1 & -1 \end{vmatrix}c_{1} - c_{3} =\begin{vmatrix} 3 - 3 & 0 & 3 \\ 8 - 6 & 1 & 6 \\ 1- (-1) & 1 & -1 \end{vmatrix} =\begin{vmatrix} 0 & 0 & 3 \\ 2 & 1 & 6 \\ 2 & 1 & -1 \end{vmatrix} =$

$=a_{11} \cdot A_{11} + a_{12} \cdot A_{12} + a_{13} \cdot A_{13} =0 \cdot A_{11} + 0\cdot A_{12} + 3 A_{13} =3 A_{13}=$

$=3 \cdot (-1)^{1 + 3}\begin{vmatrix} 2 & 1 \\ 2 & 1 \end{vmatrix} =3 \begin{vmatrix} 2 & 1 \\ 2 & 1 \end{vmatrix}= 3(2 \cdot - 2\cdot 1) = 3(2 - 2) = 3 \cdot 0 =0$

Так как $\boldsymbol{\boxed{\overrightarrow{a} \cdot [\overrightarrow{b} \cdot \overrightarrow{c} ] =0}}$, то векторы $\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}, \overrightarrow{c} \ -$ компланарны.