Question

Решите уравнение:

$(sin x +sqrt{3} cos x)^{2} - 5 = cos (frac{pi}{6} - x)$

Уже все испробовал, не знаю как...

Answer 1

Заметим что выражение 
$sinx+sqrt{3}*cosx=2sinx*cos60+2sin60*cosx$   используя это , заметим что оно по формуле  $2sin(x+60)$  откуда 
 $(2sin(x+60))^2-5=cos(frac{pi}{6}-x)$
выражение в правой части можно записать как  
$cos(frac{pi}{6}-x)=cos(frac{pi}{2}-(frac{pi}{3}+x))=sin(frac{pi}{3}+x)$
откуда в итоге получаем равносильное равенство 
 $sin(frac{pi}{3}+x)=(2sin(x+frac{pi}{3}))^2-5\ 4sin^2(x+frac{pi}{3})-sin(x+frac{pi}{3})-5=0$
получили квадратное уравнение заменим 
$4sin^2(x+frac{pi}{3})-sin(x+frac{pi}{3})-5=0\ sin(x+frac{pi}{3})=y\ 4y^2-y-5=0\ D=1+4*4*5=9^2\ y=frac{1+9}{8}=frac{5}{4}>1\ y=frac{1-9}{8}=-1\ \ sin(x+frac{pi}{3})=-1\ x=frac{-5pi}{6}+2pi*k$