При якому значені параметра a функція f(x)=ax^3+6x^2-9x+4 має дві стаціонарні точки?
Ответы
При якому значені параметра a функція f(x)=ax^3+6x^2-9x+4 має дві стаціонарні точки?
Находим производную функции.
Стационарными называются такие точки внутренней области определения функции, в которых производная функции равна нулю.
y’ = 3ax² + 12x – 9 и приравняем её нулю.
3ax² + 12x – 9 = 0, сократим на 3: ax² + 4x – 3 = 0.
D = 16 + 12a = 4(4 + 3a), √D = ±2√(4 + 3a).
Корни х1 = (-4 - 2√(4 + 3a))/2 = -2 - √(4 + 3a),
x2 = (-4 + 2√(4 + 3a))/2 = -2 + √(4 + 3a).
Это найдены 2 стационарные точки (при которых производная равна нулю).
Первым условием существования этих точек является не отрицательность подкоренных выражений.
4 + 3a ≥ 0, отсюда a ≥ -4/3.
Второе условие – чтобы точки были разными, корни в выражениях не должны быть равны нулю, иначе будет одна точка х = 2.
√(4 + 3a) ≠ 0, 4 + 3a ≠ 0, отсюда a ≠ -4/3.
Получаем ответ: a > (-4/3).