Question

А (4; 3; 5;)
B (1; 9; 7;)
C (0; 2; 0)
D (5; 3; 10)

1. Записати рівняння площини що проходить через точки B C D( в лінійному виді)
2. Рівнянь прямої що проходить через точки A B
3. Знайти кут між ними

Answer 1

А (4; 3; 5), B (1; 9; 7), C (0; 2; 0), D (5; 3; 10).

1. Записати рівняння площини що проходить через точки B C D( в лінійному виді).

2. Рівнянь прямої що проходить через точки A B.

3. Знайти кут між ними.

1) Для составления уравнения плоскости используем формулу:

x - xA                y - yA                   z - zA

xB - xA            yB - yA               zB - zA

xC - xA             yC - yA             zC - zA = 0

Подставим данные и упростим выражение:

x – 1           y – 9              z – 7

0 – 1           2 – 9               0 – 7

5 – 1           3 – 9             10 - 7 = 0.

x – 1          y – 9              z – 7

-1                  -7                   -7

4                  -6                     3 = 0

(x - 1)(-7·3-(-7)·(-6)) – (y - 9)((-1)·3-(-7)·4) + (z – 7)((-1)·(-6)-(-7)·4)= 0

(-63)(x – 1) + (-25)(y – 9)+ 34(z – 7) = 0

- 63x - 25y + 34z + 50 = 0.

2) Находим вектор АВ. Точки А (4; 3; 5), B (1; 9; 7).

АВ = (1-4; 9-3; 7-5) = (-3; 6; 2).

Уравнение прямой АВ: (x – 4)/(-3) = (y – 3)/6 = (z – 5)/2.

3) формула для вычисления угла между прямой и плоскостью по координатам направляющего вектора прямой и нормального вектора плоскости имеет вид (во вложении).

Находим синус угла между прямой  (x – 4)/(-3) = (y – 3)/6 = (z – 5)/2 и плоскостью  - 63x - 25y + 34z + 50 = 0.

sin α = |(-3)*(-63) + 6*(-25) + 2*34|/(√(-3²) + 6² + 2²)*√((-63)² + (-25) + 34²) =

       = |189 - 150) + 68|/(|√(9 + 36 + 4)*√((-63)² + (-25) + 34²) =

       = 107/(√49*√5750) = 107/(35√230) ≈ 0,201582.

Угол α равен arcsin 0,201582 = 0,20297 радиан или 11,62949 градуса.