Question

Найдите наименьшее значение n
$\displaystyle \frac{1}{\sin 45 ^{\circ}\cdot \sin 46^{\circ} } +\frac{1}{\sin 47^{\circ} \cdot \sin 48^{\circ}} + \ldots +\frac{1}{\sin 133^{\circ}\cdot \sin 134^{\circ} } =\frac{1}{ \sin n^{\circ}}$

Answer 1

$\dfrac{1}{\sin 45 ^\circ\sin 46^\circ } +\dfrac{1}{\sin 47^\circ \sin 48^\circ} + \ldots+\dfrac{1}{\sin 133^\circ \sin 134^\circ}=\dfrac{1}{\sin n^\circ }$

Вспомним формулу приведения:

$\sin(180^\circ-x)=\sin x$

Тогда, синусы, начиная с $\sin91^\circ$ и заканчивая $\sin134^\circ$, перепишутся в виде:

$\sin91^\circ=\sin(180^\circ-89^\circ)=\sin89^\circ$

...

$\sin134^\circ=\sin(180^\circ-46^\circ)=\sin46^\circ$

Распишем сумму:

$\dfrac{1}{\sin 45 ^\circ\sin 46^\circ } +\ldots+\dfrac{1}{\sin 89^\circ \sin 90^\circ} +$

$+\dfrac{1}{\sin 91^\circ \sin 92^\circ}+\ldots+\dfrac{1}{\sin 133^\circ \sin 134^\circ}=\dfrac{1}{\sin n^\circ }$

После замены синусов во второй строке, получим:

$\dfrac{1}{\sin 45 ^\circ\sin 46^\circ } +\ldots+\dfrac{1}{\sin 89^\circ \sin 90^\circ} +$

$+\dfrac{1}{\sin 89^\circ \sin 88^\circ}+\ldots+\dfrac{1}{\sin 47^\circ \sin 46^\circ}=\dfrac{1}{\sin n^\circ }$

Заметим, что тогда слагаемые можно выстроить в следующий ряд:

$\dfrac{1}{\sin 45 ^\circ\sin 46^\circ } +\dfrac{1}{\sin 46^\circ \sin 47^\circ} + \ldots+\dfrac{1}{\sin 88^\circ \sin 89^\circ}+\dfrac{1}{\sin 89^\circ \sin 90^\circ}=\dfrac{1}{\sin n^\circ }$

То есть в каждом последующем слагаемом первый множитель в знаменателе повторяет второй множитель из предыдущего слагаемого.

Домножим и разделим левую часть на $\sin 1^\circ$:

$\dfrac{ \sin 1^\circ}{\sin 1 ^\circ}\cdot\left(\dfrac{1}{\sin 45 ^\circ\sin 46^\circ } +\dfrac{1}{\sin 46^\circ \sin 47^\circ} + \ldots+\dfrac{1}{\sin 89^\circ \sin 90^\circ}\right)=\dfrac{1}{\sin n^\circ }$

$\sin 1^\circ$ из числителя внесем в скобки и умножим на каждое слагаемое:

$\dfrac{ 1}{\sin 1 ^\circ}\cdot\left(\dfrac{\sin 1^\circ}{\sin 45 ^\circ\sin 46^\circ } +\dfrac{\sin 1^\circ}{\sin 46^\circ \sin 47^\circ} + \ldots+\dfrac{\sin 1^\circ}{\sin 89^\circ \sin 90^\circ}\right)=\dfrac{1}{\sin n^\circ }$

Для каждого слагаемого в скобках представим $\sin 1^\circ$ как синус разности углов, стоящих под знаками синуса в соответствующем знаменателе:

$\dfrac{ 1}{\sin 1 ^\circ}\cdot\left(\dfrac{\sin (46^\circ-45^\circ)}{\sin 45 ^\circ\sin 46^\circ } +\dfrac{\sin (47^\circ-46^\circ)}{\sin 46^\circ \sin 47^\circ} + \ldots+\dfrac{\sin (90^\circ-89^\circ)}{\sin 89^\circ \sin 90^\circ}\right)=\dfrac{1}{\sin n^\circ }$

Распишем синусы разности:

$\dfrac{ 1}{\sin 1 ^\circ}\cdot\left(\dfrac{\sin 46^\circ\cos45^\circ-\cos46^\circ\sin45^\circ}{\sin 45 ^\circ\sin 46^\circ } +\ldots+\right.$

$\left.+\ldots+\dfrac{\sin 90^\circ\cos89^\circ-\cos90^\circ\sin89^\circ}{\sin 89^\circ \sin 90^\circ}\right)=\dfrac{1}{\sin n^\circ }$

Дроби в скобках представим в виде разности дробей:

$\dfrac{ 1}{\sin 1 ^\circ}\cdot\left(\dfrac{\sin 46^\circ\cos45^\circ}{\sin 45 ^\circ\sin 46^\circ }-\dfrac{\cos46^\circ\sin45^\circ}{\sin 45 ^\circ\sin 46^\circ } +\ldots+\right.$

$\left.+\ldots+\dfrac{\sin 90^\circ\cos89^\circ}{\sin 89^\circ \sin 90^\circ}-\dfrac{\cos90^\circ\sin89^\circ}{\sin 89^\circ \sin 90^\circ}\right)=\dfrac{1}{\sin n^\circ }$

После сокращения получим:

$\dfrac{ 1}{\sin 1 ^\circ}\cdot\left(\dfrac{\cos45^\circ}{\sin 45 ^\circ }-\dfrac{\cos46^\circ}{\sin 46^\circ } +\dfrac{\cos46^\circ}{\sin 46 ^\circ }-\dfrac{\cos47^\circ}{\sin 47^\circ }+\ldots+\right.$

$\left.+\ldots+\dfrac{\cos88^\circ}{\sin 88 ^\circ }-\dfrac{\cos89^\circ}{\sin 89^\circ }+\dfrac{\cos89^\circ}{\sin 89 ^\circ }-\dfrac{\cos90^\circ}{\sin 90^\circ }\right)=\dfrac{1}{\sin n^\circ }$

В скобках все слагаемые, кроме первого и последнего взаимно уничтожатся:

$\dfrac{ 1}{\sin 1 ^\circ}\cdot\left(\dfrac{\cos45^\circ}{\sin 45 ^\circ }-\dfrac{\cos90^\circ}{\sin 90^\circ }\right)=\dfrac{1}{\sin n^\circ }$

$\dfrac{ 1}{\sin 1 ^\circ}\cdot\left(\mathrm{ctg}\, 45^\circ-\mathrm{ctg}\, 90^\circ\right)=\dfrac{1}{\sin n^\circ }$

$\dfrac{ 1}{\sin 1 ^\circ}\cdot\left(1-0\right)=\dfrac{1}{\sin n^\circ }$

$\dfrac{ 1}{\sin 1 ^\circ}=\dfrac{1}{\sin n^\circ }$

Тогда:

$\sin 1 ^\circ=\sin n^\circ$

Все значения $n$ находятся из совокупности:

$\left[\begin{array}{l} n^\circ =1^\circ+360^\circ n \\ n^\circ =180^\circ-1^\circ+360^\circ n\end{array}\right.\Rightarrow \left[\begin{array}{l} n =1+360n \\ n =179+360n\end{array}\right.,\ n\in\mathbb{Z}$

Наименьшего значения $n$, как видно, не существует. Можно указать только наименьшее натуральное значение $n$, оно, собственно, найдено сразу: $n=1$.

Ответ: наименьшего значения n не существует; наименьшее натуральное значение n равно 1