Question

Если $x ,y\in \bigg (0 ~ ;~\dfrac{\pi }{2} \bigg ) ~~ u~~ \cos^2 (x-y) =\sin 2x \cdot \sin 2y$ , то найдите x + y

Answer 1

Ответ:

$\dfrac{\pi}{2}$

Объяснение:

                        $\cos^2(x-y)=(\cos x\cdot \cos y+\sin x\cdot \sin y)^2=$

           $=\cos^2 x\cdot \cos^2 y+2\sin x\cdot \cos x\cdot \sin y\cdot \cos y+\sin^2 x\cdot \sin^2 y\Rightarrow$

    $\cos^2(x-y)-\sin 2x\cdot \sin 2y=\cos^2 (x-y)-4\sin x\cdot\cos x\cdot \sin y\cdot \cos y=$

          $=\cos^2 x\cdot \cos^2 y-2\sin x\cdot \cos x\cdot \sin y\cdot \cos y+\sin^2 x\cdot \sin^2 y=$

                      $=(\cos x\cdot \cos y-\sin x\cdot \sin y)^2=\cos^2(x+y).$

Вывод:       $\cos^2(x+y)=0;\ \cos(x+y)=0;\ x+y=\dfrac{\pi}{2}+\pi n.$

Но поскольку x и y лежат в пределах от нуля до $\dfrac{\pi}{2}\Rightarrow$

                                     $x+y\in (0;\pi)\Rightarrow x+y=\dfrac{\pi}{2}.$