Question

Даны вектора p(4;3) d(2;1) q(6;y) найдите :
а) число у если векторы d и q колинеарны
б)число у если векторы p и q пенпердекулярны
с) косинус угла между векторы p и d

Answer 1

Ответ:

а) при у=3 векторы d и q коллиниарны

б) при у=-8 векторы p и q перпендикулярны

с) косинус угла между векторами p и d $\dfrac{11\sqrt{5} }{25}$

Объяснение:

Даны вектора:

$\bf \overline{p}(4;3), \:\overline{d}(2;1), \:\overline{q}(6;y).$

Найдём:

а)

число у если векторы $\overline{d}$ и $\overline{q}$ колинеарны

• Два ненулевых вектора  $\overrightarrow{a}(x_1;y_1)$  и  $\overrightarrow{b}(x_2;y_2)$ коллинеарны, когда их соответствующие координаты пропорциональны:

$\boxed{\dfrac{x_1}{x_2}=\dfrac{y_1}{y_2} }$

Подставляем координаты заданных векторов и находим у:

$\dfrac{2}{6} =\dfrac{1}{y} \\\\y=\dfrac{6*1}{2} =\bf 3$

При у=3 векторы d и q коллинеарны

б)

число у если векторы $\overline{p}$ и $\overline{q}$ пенпердекулярны.

• Для того чтобы вектор $\overrightarrow{a}$ был перпендикулярен вектору $\overrightarrow{b}$ необходимо, чтобы их скалярное произведение было равно нулю:

$\bf a_x\cdot b_x+a_y\cdot d_y=0$

Подставим в это выражение координаты заданных векторов и из полученного равенства найдем у:

4·6+3·у=0

24+3у=0

3у=-24

у=-8

При у=-8 векторы p и q будут перпендикулярными

с)

косинус угла между векторами $\overline{p}$ и $\overline{d}$

• Скалярным произведением двух ненулевых векторов  называется число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними:

$\boxed{\bf \overline{a} \cdot \overline{b} = \mid\overline{a}\mid \cdot\mid \overline{b} \mid\cdot cos(\overline{a} , \overline{b} )}$

Находим скалярное произведение векторов $\overline{p}$ и  $\overline{d}$:

$\bf \overline{p} \cdot \overline{d} = 4\cdot 2+ 3\cdot 1 = 8+3=11$

Находим длины векторов:

$\mid p \mid =\sqrt{(x_p)^2+(y_p)^2} =\sqrt{4^{2}+3^{2} } =\sqrt{16+9} =\sqrt{25} =5$

$\mid d \mid =\sqrt{(x_d)^2+(y_d)^2} =\sqrt{2^{2}+1^{2} } =\sqrt{4+1} =\sqrt{5}$

Косинус искомого угла:

$cos(\overline{p} , \overline{d} )=\dfrac{\overline{p} \cdot \overline{d} }{\mid\overline{p}\mid \cdot\mid \overline{d} \mid}=\dfrac{11}{5\cdot \sqrt{5} }=\dfrac{11\cdot \sqrt{5} }{5\cdot \sqrt{5} \cdot \sqrt{5} }=\bf \dfrac{11 \sqrt{5}}{25}$