Question

А,В,С,D. Вычислить:а) площадь указанной грани б)площадь сечения,проходящего яерез середину ребра l и две вершины пирамиды в)Объём пирамиды ABCD г)сделать чертёж (1;3;1)B(-1;4;6)C(-2;-3;4)D(3;4;-4) Грань ACD l-BC Две вершины- A и D

Answer 1

Вычислить:

а) площадь указанной грани.

б) площадь сечения, проходящего через середину ребра l и две вершины пирамиды.

в) Объём пирамиды ABCD.

г) сделать чертёж А(1;3;1), B(-1;4;6), C(-2;-3;4), D(3;4;-4).

Грань ACD l-BC Две вершины- A и D.

а) Находим векторы AC и AD.

AC = (-2-1; -3-3; 4-1) = (-3; -6; 3), модуль равен √(9+36+9) = √54.

AD = (3-1; 4-3; -4-1) = (2; 1; -5),  модуль равен √(4+1+25) = √30.

Площадь грани ACD равна половине модуля векторного произведения векторов AC и AD.

AC х AD =

 i          j         k |         i          j

-3        -6        3 |        -3       -6  

2         1        -5 |         2         1 = 30i + 6j – 3k -15j – 3i + 12k =

                                                = 27i – 9j + 9k.

S = (1/2)√(27² + (-9) ² + 9²) = (1/2)√( 729 + 81 + 81) =(1/2)√891≈ 29,8496/2 = 14,9248 кв. ед.

б) Находим координаты точки Е - середины ребра ВС.

Е = (В+С)/2 = (-1-2)/2; (4-3)/2; (6+4)/2) = (-1,5; 0,5; 5),

А(1; 3; 1), D(3; 4; -4).

Площадь сечения находим по векторам АЕ и AD.

AЕ = (-1,5-1; 0,5-3; 5-1) = (-2,5; -2,5; 4).

AD = (2; 1; -5).

AЕ х AD =

 i          j         k |         i          j

-2,5     -2,5     4 |      -2,5     -2,5  

2         1        -5 |         2         1 = 12,5i + 8j – 2,5k -12,5j – 4i + 5k =

                                                = 8,5i – 4,5j + 2,5k.

S = (1/2)√(8,5² + (-4,5) ² + 2,5²) = (1/2)√( 72,25 + 20,25 + 6,25) =(1/2)√98,75 ≈ 9,9373/2 = 4,9686 кв. ед.

в) Объём пирамиды равен (1/6) модуля смешанного произведения векторов (ACxAD)*AB.

Находим вектор АВ = (-1-1; 4-3; 6-1) = (-2; 1; 5).

Используем произведение (ACxAD) по п. а).

    27     – 9      9

   -2       1        5   =

= -54 +  (-9) +  45 = -18.

V = (1*6)*|-18| = 3 куб. ед.

г) рисунок во вложении.