Question

найти производную функции х^2+ху^2+х^у=2​

Answer 1

$x^2+xy^2+x^y=2$

Найдем производную левой и правой части:

$(x^2+xy^2+x^y)'=2'$

$(x^2)'+(xy^2)'+(x^y)'=0$

$2x+x'\cdot y^2+x\cdot(y^2)'+(x^y)'=0$

$2x+1\cdot y^2+x\cdot2y\cdot y'+(x^y)'=0$

$2x+y^2+2xy\cdot y'+(x^y)'=0$

Отдельно найдем производную показательно-степенной функции с помощью логарифмического дифференцирования:

Обозначим: $f(x)=x^y$

$\ln f(x)=\ln x^y$

$\ln f(x)=y\ln x$

$(\ln f(x))'=(y\ln x)'$

$\dfrac{1}{f(x)} \cdot f'(x)=y'\cdot\ln x+y\cdot(\ln x)'$

$\dfrac{1}{f(x)} \cdot f'(x)=\ln x\cdot y'+y\cdot\dfrac{1}{x}$

$f'(x)=f(x)\cdot\left(\ln x\cdot y'+\dfrac{y}{x} \right)$

$f'(x)=x^y\cdot\left(\ln x\cdot y'+\dfrac{y}{x} \right)$

$f'(x)=x^y\cdot\ln x\cdot y'+x^y\cdot\dfrac{y}{x}$

$f'(x)=x^y\ln x\cdot y'+x^{y-1}y$

$\Rightarrow (x^y)'=x^y\ln x\cdot y'+x^{y-1}y$

Тогда получим:

$2x+y^2+2xy\cdot y'+x^y\ln x\cdot y'+x^{y-1}y=0$

Оставим в левой части столько слагаемые, содержащие производную:

$2xy\cdot y'+x^y\ln x\cdot y'=-(2x+y^2+x^{y-1}y)$

$(2xy+x^y\ln x)\cdot y'=-(2x+y^2+x^{y-1}y)$

$\boxed{y'=-\dfrac{2x+y^2+x^{y-1}y}{2xy+x^y\ln y} }$