Question

100 БАЛЛОВ
Найти сумму целых решений неравенства

Answer 1

Решение.

Показательное уравнение .

$\bf 4^{x}-7\cdot 2^{x}+10\leq 0\ \ \Rightarrow \ \ \ (2^{x})^2-7\cdot 2^{x}+10\leq 0$  

Сделаем замену переменных :

$\bf t=2^{x} > 0\ ,\ \ t^2-7t+10\leq 0\\\\t^2-7t+10=0\ \ \ \to \ \ \ t_1=2\ ,\ t_2=5$  (по теореме Виета)   ⇒

$\bf (t-2)(t-5)\leq 0\ \ ,\ \ znaki:\ +++[\, 2\, ]---[\, 5\, ]+++\\\\t\in [\ 2\ ;\ 5\ ]\ \ ,\ \ \ 2\leq t\leq 5\ \ \ \Rightarrow \ \ \ 2\leq 2^{x}\leq 5\ \ ,\ \ \ 2^1\leq 2^{x}\leq 2^{log_25}\ ,\\\\1\leq x\leq log_25\ \ ,\ \ \ log_25\approx 2,3219$  

Ответ:  $\boldsymbol{x\in [\ 1\ ;\ log_25\ ]}$  , сумма всех целых решений неравенства

равна   $\bf 1+2=3$ .