Question

Дан правильный треугольник со стороной а=2, точка Р находится на расстоянии 5 от вершин треугольника. Найти расстояние от точки Р до плоскости треугольника.

Answer 1

решение приведено во вложении

4b6d195140ad1b2eb547f50c1294b3e6.doc

Answer 2

Высота равностороннего треугольника со стороной а = 2, разбивает его на два равных прямоугольных треугольника с гипотенузой а = 2 и острыми углами 30° и 60°. 
По определению синус острого угла прямоугольного треугольника = отношению ПРОТИВОЛЕЖАЩЕГО катета (h) к гипотенузе а = 2

sinα = $frac{h}{a}$

h = a * sinα = 2 * $frac{ sqrt{3} }{2}$ = √3 - высота равностороннего треугольника

Кратчайшее расстояние от точки Р до плоскости треугольника - перпендикуляр к плоскости треугольника, основание которого делит высоту треугольника в отношении 2 : 3, считая от вершины h : 3 * 2 = 2h : 3 = 2√3/3

В прямоугольном треугольнике с гипотенузой с = 5 и катетом b = 2√3/3, по т. Пифагора

5² = (2√3/3)² + х²

х² = 23$frac{2}{3}$

х = $sqrt{23 frac{2}{3} }$

4b6d195140ad1b2eb547f50c1294b3e6.doc