Question

розв'яжи систему рівнянь {3^х+3^у=12 х+у=3​

Answer 1

Відповідь:

х₁  = 1; у₁ =2

х₂ = 2; у₂ =1

Покрокове пояснення:

$\displaystyle \left \{ {{3^x+3^y=12} \atop {x+y=3}} \right.$

з другого рівняння визначимо х :

х = 3 - у

Підставимо начення х у перше рівняння :

$\displaystyle 3^{3-y} +3^y=12$

спростимо :

$\displaystyle 3^{3-y} = 3^{-y+3} =3^{-(y-3)}=\frac{1}{3^{y-3} }=\frac{1}{3^y:3^3}=\frac{3^3}{3^y}=\frac{27}{3^y}$

отримаємо рівняння :

$\displaystyle \frac{27}{3^y} +3^y=12$

Введемо змінну t:

$\displaystyle 3^{y}=t$ тоді :

$\displaystyle \frac{27}{t}+t =12\\ \\ \frac{27t+t^2}{t}=12\\ \\ 27+t^2=12t\\ \\ t^2-12t+27=0\\ \\ D= 144-108=36\\ \\ \sqrt{D}=6 \\ \\ t_{1} =\frac{12+6}{2}=9\\ \\ t_{2} =\frac{12-6}{2}=3$

Підставимо і знайдемо значення х та у :

t₁ = 9 тоді

$\displaystyle 3^y= 9\\ \\ 3^y=3^2\\ \\ y_{1} = 2\\ \\ 3^x+3^y=12\\ \\ 3^x+3^2=12\\ \\ 3^x=9\\ \\ 3^x=12-9\\ 3^x=3\\ \\ 3^x=3^1\\ \\x_{1}=1$

t₂ = 3 ,тоді:

$\displaystyle 3^y= 3\\ \\ 3^y=3^1\\ \\ y_{2} = 1\\ \\ 3^x+3^y=12\\ \\ 3^x+3^1=12\\ \\ 3^x=12-3\\ 3^x=9\\ \\ 3^x=3^2\\ \\x_{2}=2$

Відповідь : х₁  = 1; у₁ =2

                   х₂ = 2; у₂ =1