Question

Помогите с задачей. Даю 60 баллов

Answer 1

Ответ:

BP : AP = 25 : 2

Пошаговое объяснение:

В прямоугольном треугольнике АВС отношение катетов АС: ВС = 2 : 5, точка М - середина катета АС. Из точки С на отрезок ВМ опустили перпендикуляр СН, который пересекает гипотенузу AB в точке Р. Найдите ВР : AP.

Дано: ΔАВС - прямоугольный;

АС: ВС = 2 : 5;

СМ = АМ;

СВ ⊥ ВМ; ВМ ∩ ВА = Р.

Найти: ВР : АР.

Решение:

Пусть АС = 2х, СВ = 5х, СМ = АМ = х.

1. Рассмотрим ΔСВМ - прямоугольный.

По теореме Пифагора:

$\displaystyle \bf BM=\sqrt{CB^2+CM^2}=\sqrt{25x^2+x^2}=x\sqrt{26}$

• Синус угла - отношение противолежащего катета к гипотенузе.

$\displaystyle \bf sin\angle{CBM}=\frac{CM}{BM}=\frac{x}{x\sqrt{26} } =\frac{1}{\sqrt{26} }$

$\displaystyle \bf sin\angle{BMC}=\frac{CB}{BM}=\frac{5x}{x\sqrt{26} } =\frac{5}{\sqrt{26} }$

2. Рассмотрим ΔСВН и Δ СНМ - прямоугольные.

• Высота, опущенная из вершины прямого угла на гипотенузу, делит этот треугольник на два подобных треугольника.

Пусть ∠СВН = ∠НСМ  = α; ∠ВСН = ∠НМС = β.

⇒  $\displaystyle \bf sin\alpha =\frac{1}{\sqrt{26} } ;\;\;\;sin\beta =\frac{5}{\sqrt{26}}$

3. Рассмотрим Δ АВС - прямоугольный.

По теореме Пифагора:

$\displaystyle \bf AB=\sqrt{BC^2+AC^2}=\sqrt{25x^2+4x^2}=x\sqrt{29}$

$\displaystyle \bf sin\angle{B}=\frac{AC}{AB}=\frac{2x}{x\sqrt{29} }=\frac{2}{\sqrt{29} } \\ sin\angle{A}=\frac{BC}{AB}=\frac{5x}{x\sqrt{29} }=\frac{5}{\sqrt{29} }$

4. Рассмотрим ΔСВР.

• Теорема синусов: стороны треугольника пропорциональны синусам противоположных углов.

⇒

$\displaystyle \bf \frac{CP}{sin\angle{B}}=\frac{BP}{sin\beta } \\\\BP=\frac{CP\cdot{sin\beta}}{sin\angle{B}}$          (1)

5. Рассмотрим ΔСРА.

По теореме синусов:

$\displaystyle \bf \frac{CP}{sin\angle{A}}=\frac{AP}{sin\alpha } \\\\AP=\frac{CP\cdot{sin\alpha }}{sin\angle{A}}$          (2)

6. Из выражений (1) и (2) составим отношение:

$\displaystyle \bf \frac{BP}{AP}=\frac{CP\cdot{sin\beta }\cdot{sin\angle{A}}}{sin\angle{B}\cdot{CP}\cdot{}sin\alpha }=\frac{{sin\beta }\cdot{sin\angle{A}}}{sin\angle{B}\cdot{}sin\alpha }$

Подставим значения:

$\displaystyle \bf \frac{BP}{AP}=\frac{5\cdot5\cdot\sqrt{29}\cdot\sqrt{26} }{\sqrt{26} \cdot\sqrt{29}\cdot2 } =\frac{25}{2}$

BP : AP = 25 : 2

#SPJ1