Question

Помогите пожалуйста решить уравнение

Answer 1

Ответ:

$\pm 5\sqrt{5}.$

Объяснение:

Хорошая задача с  "подковырками". ОДЗ: $x\in (-\infty; -5)\cup [5;+\infty).$

1 случай: x≥5⇒ $\sqrt{x^2-25}=\sqrt{x+5}\cdot \sqrt{x-5}.$ Преобразуем:

$2x-2\sqrt{x^2-25}=\dfrac{(x-5)^2}{x+5}; (x+5)-2\sqrt{x+5}\cdot \sqrt{x-5}+(x-5)=\dfrac{(x-5)^2}{x+5};$

                        $(\sqrt{x+5}-\sqrt{x-5})^2=\left(\dfrac{(\sqrt{x-5})^2}{\sqrt{x+5}}\right)^2.$

Извлекая корни, мы должны писать модули, но мы их опускаем в силу неотрицательности подмодульных выражений:

       $\sqrt{x+5}-\sqrt{x-5}=\dfrac{(\sqrt{x-5})^2}{\sqrt{x+5}};\ \left(\dfrac{\sqrt{x-5}}{\sqrt{x+5}}\right)^2+\dfrac{\sqrt{x-5}}{\sqrt{x+5}}-1=0;$

$\dfrac{\sqrt{x-5}}{\sqrt{x+5}}=\dfrac{-1+\sqrt{5}}{2};\ x-5=\dfrac{3-\sqrt{5}}{2}(x+5);\ 2x-10=(3-\sqrt{5})(x+5);$

$(\sqrt{5}-1)x=25-5\sqrt{5};\ x=\dfrac{5\sqrt{5}(\sqrt{5}-1)}{\sqrt{5}-1}=5\sqrt{5} > 5.$

2-й случай: x<-5⇒$\sqrt{x^2-25}=\sqrt{(x+5)(x-5)}=\sqrt{(-5-x)(5-x)}=\sqrt{-5-x}\cdot\sqrt{5-x}.$ Имеем:

               $(-5-x)+2\sqrt{-5-x}\cdot \sqrt{5-x}+(5-x)=\dfrac{(5-x)^2}{-5-x};$

                        $(\sqrt{-5-x}+\sqrt{5-x})^2=\left(\dfrac{(\sqrt{5-x})^2}{\sqrt{-5-x}}\right)^2;$

                             $\sqrt{-5-x}+\sqrt{5-x}=\dfrac{(\sqrt{5-x})^2}{\sqrt{-5-x}};$

                           $\left(\dfrac{\sqrt{5-x}}{\sqrt{-5-x}}\right)^2-\dfrac{\sqrt{5-x}}{\sqrt{-5-x}}-1=0;$

                  $\dfrac{\sqrt{5-x}}{\sqrt{-5-x}}=\dfrac{1+\sqrt{5}}{2};\ 5-x=\dfrac{3+\sqrt{5}}{2}(-5-x);$

$10-2x=-15-5\sqrt{5}-(3+\sqrt{5})x;\ (\sqrt{5}+1)x=-25-5\sqrt{5};\ x=-5\sqrt{5} < -5.$

Ответ: $\pm5\sqrt{5}.$

Замечание. Поскольку задача достаточно сложная, я опускал некоторые очевидные места. Например, учитывая, что годятся только положительные корни уравнения, я отрицательные корни просто не выписывал.