Question

Найти значение функций y=arcctg 2x -arcsin x если x=(-√3/2) ; (-1/2) ; √3/2 ; 1/2


Даю 20 баллов

Answer 1

Ответ:

y(-√3/2) = 7π/6

y(-1/2) = 11π/12

y(√3/2) = -π/6

y(1/2) = π/12

Объяснение:

$y = arcctg (2x) - arcsin(x)$

Вспомним формулы этих обратных тригонометрических функций с отрицательным аргументом :

$\boxed{ \boldsymbol{ \arcctg( - x) = \pi - \arcctg (x),x \in( - \infty ; + \infty )}}$

$\boxed{ \boldsymbol{ \arcsin( - x) = - \arcsin(x),x \in[-1;1]}}$

Найдем значение функции при x = -√3/2:

$\displaystyle y = arcctg \Big(2 \cdot( - \frac{ \sqrt{3} }{2} ) \Big) - arcsin \Big( - \frac{ \sqrt{3} }{2} \Big) = arcctg \Big( - \sqrt{ 3} \Big) -\Big( - \frac{ \pi}{3} \Big) = \pi - \frac{ \pi}{6} + \frac{ \pi}{3} = \frac{6 \pi - \pi +2\pi}{6} = \frac{7\pi}{6}$

При x = -1/2:

$\displaystyle y= arcctg\Big(2\cdot(-\frac{1}{2} )\Big)-arcsin\Big(-\frac{1}{2} \Big)=arcctg (-1)-\Big(-\frac{\pi}{6} \Big)=\pi-\frac{\pi }{4} +\frac{\pi }{6} =\frac{12\pi -3\pi+2\pi}{12} =\frac{11\pi}{12}$

При x = √3/2:

$\displaystyle y = arcctg \Big(2 \cdot \frac{ \sqrt{3} }{2} \Big) - arcsin \frac{ \sqrt{3} }{2} = arcctg \sqrt{ 3} -\frac{ \pi}{3} =\frac{\pi}{6} -\frac{\pi}{3} =\frac{\pi-2\pi}{6} =-\frac{\pi}{6}$

При x = 1/2:

$\displaystyle y= arcctg\Big(2\cdot\frac{1}{2} \Big)-arcsin\frac{1}{2} =arcctg 1-\frac{\pi}{6} =\frac{\pi}{4} -\frac{\pi}{6} =\frac{3\pi-2\pi}{12} =\frac{\pi}{12}$