Question

Пусть последовательность ${c_{n}$ задана условиями:

$c_{1}=0\\c_{2}=1 \\c_{n+1}=\frac{1}{3} c_{n}+\frac{2}{3}c_{n-1}, n\geq 2$

Найти предел последовательности.

Answer 1

Ответ:

$\dfrac{3}{5}$

Объяснение:

Рекуррентное соотношение перепишем в виде

$c_{n+1}-c_n=-\dfrac{2}{3}\cdot\left(c_n - c_{n-1}\right), n\geq 3\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;(1)$

Введем обозначение $\Delta c_{k}=c_k-c_{k-1}$. Тогда $(1)$ примет вид

$\Delta c_{n+1}=-\dfrac{2}{3}\cdot \Delta c_{n}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;(2)$

Начальное условие $\Delta c_2=1-0=1$.

Заметим, что

$\sum\limits_{k=2}^n\Delta c_k=(c_2-c_1)+(c_3-c_2)+...+(c_n-c_{n-1})=c_n-c_1=c_n-0=c_n$. Соответственно, искомый предел равен $\lim\limits_{n\to\infty}c_n=\sum\limits_{k=2}^\infty\Delta c_k$.

Осталось заметить, что согласно $(2)$ и начальному условию $\Delta c_k$ - бесконечно убывающая геометрическая прогрессия со знаменателем $-\dfrac{2}{3}$ и начальным членом $1$.

Ее сумма равна

$\sum\limits_{k=2}^\infty\Delta c_k=\dfrac{1}{1-\left(-\dfrac{2}{3}\right)}=\dfrac{3}{5}$