Question

1.В  четырехугольной пирамиде SABCD все ребра равны. Доказать, что плоскость BMD перпендикулярна прямой SC, где точка M -- середина ребра SC.

2.В треугольной пирамиде SABC, в которой АВ ⊥  ВС, через точку М ребра SB проведено сечение плоскостью, параллельной плоскости АВС. Известно, что АВ=10см, ВС=15 см. Найти площадь этого сечения, если SM:MB=2:3.

Answer 1

1
РЕШЕНИЕ
рисунок прилагается
В  четырехугольной пирамиде SABCD все ребра равны,значит все боковые грани равносторонние треугольники
Так как точка M -- середина ребра SC, то 
ВМ - медиана, биссектриса, высота в треугольнике BSC  и  
  ВМ -перпендикуляр  к SC
DМ - медиана, биссектриса, высота в треугольнике DSC  и  
  DМ -перпендикуляр  к SC
ТРИ точки B,D,M  образуют плоскость  BMD, в которой лежат пересекающиеся прямые (BM) и (DM). 
Так как  (SC)  перпендикулярна к каждой из прямых (BM) и (DM),
следовательно плоскость BMD перпендикулярна прямой SC. 
ДОКАЗАНО. 
2
РЕШЕНИЕ
рисунок прилагается
Так как  АВ ⊥  ВС , то основание пирамиды - прямоугольный треугольник ABC
площадь прямоугольного треугольника S(∆ABC)=1/2 АВ*ВС = 1/2 *10*15=75
Так как через точку М ребра SB проведено сечение плоскостью, параллельной плоскости АВС, то по теореме Фалеса  эта плоскость делит боковые ребра пирамиды на пропорциональные отрезки таким образом, что:
∆ASB ~ ∆KSM
∆ASC ~ ∆KSN
∆BSC ~ ∆MSN
подобные треугольники.
Искомое сечение ∆KMN
Причем если SM:MB=2:3 , то коэффициент подобия k = SM/SB = 3/5
В подобных  треугольниках соответствующие стороны пропорциональны
KM ~ AB
KN ~ AC
MN ~ BC
тогда ∆KMN ~ ∆ABC  с коэффициентом подобия k =  3/5 .
Известно, что площади подобных треугольников относятся, как  k^2 тогда
S(∆KMN) = k^2 * S(∆ABC) = (3/5)^2 * 75 = 27
ответ S = 27