Question

ПОМОГИТЕ , ПОЖАЛУЙСТА!!!!Вычислить определённый интеграл выражения x [x] {x} dx ,от 1(нижний предел) до 2021(верхний предел)​

Answer 1

Ответ:

$\dfrac{505\cdot 2021\cdot 4043}{3}$

Объяснение:

Используя $x=[x]+\{x\}$, преобразуем условие:

$\int\limits_1^{2021} x[x]\{x\}dx=\int\limits_1^{2021} ([x]+\{x\})[x]\{x\}d([x]+\{x\})=\sum\limits_{n=1}^{2020} \int\limits_n^{n+1} x[x]\{x\}dx=(*)$

Рассмотрим некоторый из интегралов по отрезку $[n;n+1]$:

За исключением точки $n+1$, очевидно, $[x]=n$. Соответственно, выколов эту точку, получим, что

$\int\limits_n^{n+1} x[x]\{x\}dx=\int\limits_n^{n+1} (n+\{x\})n\{x\}d(n+\{x\})=\int\limits_0^{1} (n+\{x\})n\{x\}d(\{x\})=$

$=n^2\cdot\int\limits_0^{1}t \;d(t)+n\cdot \int\limits_0^{1} t^2\;d(t)=n^2\cdot \dfrac{1}{2}+n\cdot \dfrac{1}{3}$

Тогда, используя формулы суммы квадратов первых k натуральных чисел, получим

$(*)=\sum\limits_{n=1}^{2020} \left(\dfrac{n^2}{2}+\dfrac{n}{3}\right)=\dfrac{1}{2}\cdot \dfrac{2020\cdot 2021\cdot 4041}{6}+\dfrac{1}{3}\cdot \dfrac{1+2020}{2}\cdot 2020=\\ =\dfrac{2020\cdot 2021}{12}\cdot (4041+2)=\dfrac{505\cdot 2021\cdot 4043}{3}$