Question

СРОЧНО ОЧЕНЬ . НА ФОТО

Answer 1

Ответ:

Бесконечно убывающей геометрической прогрессией называют бесконечную геометрическую прогрессию, знаменатель q которой по абсолютной величине меньше единицы (|q|<1).

Пусть последовательность \{a_n\} и будет такой прогрессией. Если возьмем n первых ее членов, то их сумма выразится формулой: s_n=\frac{a_1(q^n-1)}{q-1}. Что же понимать под суммой бесконечного числа слагаемых — членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии? Ответ на вопрос дает следующее определение.

Определение

Суммой бесконечно убывающей геометрической прогрессии называют предел суммы n первых членов этой прогрессии при неограниченном возрастании n:

a_1+a_2+ ...+a_n+...= \lim_{n\to\infty}s_n=\lim_{n\to\infty} \frac{a_1-a_nq}{1-q}.

Покажем, что этот предел существует и найдем его.

\lim_{n\to\infty} \frac{a_1-a_nq_n}{1-q}=\lim_{n\to\infty} (\frac{a_1}{1-q}-\frac{a_nq}{1-q})=

\lim_{n\to\infty}\frac{a_1}{1-q}-\lim_{n\to\infty}\frac{a_nq}{1-q}= \frac{a_1}{1-q}-\lim_{n\to\infty}\frac{q}{1-q}\cdot\lim_{n\to\infty}a_n= \frac{a_1}{1-q}-\frac{q}{1-q}\cdot 0=\frac{a_1}{1-q};

s=\lim_{n\to\infty}s_n=\frac{a_1}{1-q}.

Определение

Сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии равна первому члену этой прогрессии, деленному на разность между единицей и знаменателем этой прогрессии.

Полученная формула используется для вывода правил обращения чистых и смешанных периодических десятичных дробей в обыкновенные дроби.