Question

Дан прямоугольный треугольник ABC, известно что CE=ED, AB=13cm и AC=50мм.

1) Найдите длину отрезка CE.

2) Вычислите длину описанной окружности треугольникаABC.

3) Вычислите площадь вписанной окружности треугольникаABC.

Answer 1

Ответ:

1) Длина отрезка СЕ равна  $\displaystyle 3\frac{1}{3}$ см.

2) Длина описанной окружности около треугольника ABC равна 13π см.

3) Площадь вписанной окружности треугольника  ABC равна 4π см².

Объяснение:

Дан прямоугольный треугольник ABC, известно что CE=ED, AB=13 см и AC=50 мм.

1) Найдите длину отрезка CE.

2) Вычислите длину описанной окружности треугольника ABC.

3) Вычислите площадь вписанной окружности треугольника ABC.

Дано: ΔАВС - прямоугольный;

CE = ED;

АВ = 13 см; АС = 50 мм = 5 см.

Найти: 1) СЕ; 2) L - длину описанной окружности; 3) S вписанной окружности.

Решение:

1) Найдите длину отрезка CE.

1. Рассмотрим ΔАВС - прямоугольный.

По теореме Пифагора найдем СВ:

СВ² = АВ² - АС² = 169 - 25 = 144  ⇒  СВ = √144 = 12 (см)

2. Рассмотрим ΔDEB и ΔАВС - прямоугольные.

∠В - общий.

⇒ ΔDEB ~ ΔАВС (по двум углам)

Пусть СЕ = ED = х см; тогда ЕВ = (12 - х) см.

Запишем отношения сходственных сторон:

$\displaystyle \frac{DE}{AC}=\frac{EB}{AB}\\ \\\frac{x}{5}=\frac{12-x}{13} \\\\13x=60-5x\\\\18x=60\;\;\;\;\;|:18\\\\x=\frac{10}{3} \\\\x=3\frac{1}{3}$

Длина отрезка СЕ равна  $\displaystyle 3\frac{1}{3}$ см.

2) Вычислите длину описанной окружности треугольника ABC.

Найдем радиус описанной окружности.

• Центр описанной окружности лежит на середине гипотенузы.

⇒ R = AB : 2 = 13 : 2 = 6,5 (см)

• Длина окружности равна L = 2πR.

⇒ L = 2π · 6,5 = 13π (см)

Длина описанной окружности около треугольника ABC равна 13π см.

3) Вычислите площадь вписанной окружности треугольника ABC.

• Найдем радиус вписанной окружности в прямоугольный треугольник по формуле:
• $\displaystyle \bf r=\frac{a+b-c}{2}$ , где a и b - катеты, с - гипотенуза.

$\displaystyle r=\frac{5+12-13}{2}=2\;_{(CM)}$

• Площадь круга найдем по формуле: S = πr²

S = π · 2² = 4π (см²)

Площадь вписанной окружности треугольника  ABC равна 4π см².