Question

100 баллов. довести тотожність з фото

Answer 1

Основное тригонометрическое тождество:

$\sin^2x+\cos^2x=1$

Формула синуса двойного угла:

$\sin2x=2\sin x\cos x$

Преобразуем:

$\dfrac{\sin^22\alpha -4\cos^2\alpha }{\sin^22\alpha +4\cos^2\alpha -4} =\dfrac{(2\sin\alpha \cos\alpha )^2-4\cos^2\alpha }{(2\sin\alpha \cos\alpha )^2 +4\cos^2\alpha -4} =$

$=\dfrac{4\sin^2\alpha \cos^2\alpha-4\cos^2\alpha }{4\sin^2\alpha \cos^2\alpha +4\cos^2\alpha -4} =\dfrac{4\sin^2\alpha \cos^2\alpha-4\cos^2\alpha }{4\sin^2\alpha \cos^2\alpha +4(1-\sin^2\alpha)-4} =$

$=\dfrac{4\sin^2\alpha \cos^2\alpha-4\cos^2\alpha}{4\sin^2\alpha \cos^2\alpha +4-4\sin^2\alpha-4} =\dfrac{4\sin^2\alpha \cos^2\alpha-4\cos^2\alpha }{4\sin^2\alpha \cos^2\alpha -4\sin^2\alpha} =$

$=\dfrac{4\cos^2\alpha(\sin^2\alpha -1) }{4\sin^2\alpha( \cos^2\alpha -1)} =\dfrac{4\cos^2\alpha\cdot(-\cos^2\alpha ) }{4\sin^2\alpha\cdot( -\sin^2\alpha )} =\dfrac{-4\cos^4\alpha}{-4\sin^4\alpha} =\mathrm{ctg}^4\,\alpha$