Question

а) Перевірити, чи лежать чотири точки
M1
(1; 2; −1), M2

(0; 1; 5), M3

(−1; 2; 1), M4(2; 1; 3) в одній площині.

б) Довести, що вектори a⃗ = (11; 1; 2), b⃗⃗ = (−3; 3; 4), c⃗ = (−4; −2; 7) утворюють базис
та знайти координати вектора d⃗ = (−5; 11; −15) в цьому базисі.

Answer 1

а) Перевірити, чи лежать чотири точки

M1(1; 2; −1), M2(0; 1; 5), M3(−1; 2; 1), M4(2; 1; 3) в одній площині.

Эту задачу можно решить тремя способами.

1) По координатам трёх точек определить уравнение плоскости и подставить в него координаты четвёртой точки. Если уравнение будет верно – то все точки в одной плоскости.

2) Найти уравнения диагоналей и определить – пересекаются ли они. Если пересекаются, то обе диагонали и, следовательно, все заданные точки лежат в одной плоскости.

3) Доказать, что объём тетраэдра ABCD равен нулю. Примем этот вариант.

Здесь можно применить векторное свойство:  для того чтобы три вектора a1,a2,a3 были компланарны, необходимо и достаточно выполнения условия [a1,a2]a3=0.

V = (1/6)*(a*b*c), где a, b и c – векторы из одной точки.

Находим произведение. M1(1; 2; −1), M2(0; 1; 5), M3(−1; 2; 1), M4(2; 1; 3

V =(1/6)* |x4 – x1       y4 – y1        z4 – z1|

              |x3 – x1       y3 – y1        z3 – z1|

              |x2 – x1       y2– y1        z2 – z1|.

Матрицу решаем по схеме Крамера.

     1       -1       4|        1      -1

    -2        0       2|      -2        0

    -1      -1        6|      -1      -1 = 0+2+8-12+2-0 = 0.

Тогда V = (1/6)*0 = 0, следовательно, все заданные точки лежат в одной плоскости.

б) Довести, що вектори a⃗ = (11; 1; 2), b⃗⃗ = (−3; 3; 4), c⃗ = (−4; −2; 7) утворюють базис

та знайти координати вектора d⃗ = (−5; 11; −15) в цьому базисі.

б) Векторы образуют базис, если определитель, составленный из координат этих векторов, отличен от нуля, в противном случае вектора не являются базисными и вектор нельзя разложить по данному базису.

Находим определитель по схеме Крамера.

11      1       2 |     11      1

−3      3       4 |    -3        3

−4    −2       7 |    -4      -2 = 231-16+12+21+88+24 = 360.

Определитель отличен от нуля, значит, заданные векторы образуют базис.

Для разложения вектора по базису запишем векторное уравнение:

x1a1 + x2a2 + x3a3 = b.

Перепишем векторное уравнение в матричном виде и решим его тоже методом Крамера.

x1 x2 x3 B

11 -3 -4 -5

1 3 -2 11 Δ

2 4 7 -15 360

Заменяем 1-й столбец на вектор результатов B:

-5 -3 -4  

11 3 -2  Δ1

-15 4 7  -360

Заменяем 2-й столбец на вектор результатов B:

11 -5 -4  

1 11 -2  Δ2

2 -15 7  720

Заменяем 3-й столбец на вектор результатов B:

11 -3 -5  

1 3 11  Δ3

2 4 -15  -1080

x1 = -1  

x2 = 2  

x3 = -3.  

Определители к каждой матрице находятся по вышеприведенной схеме.

Получили вектор d(-1; 2; -3).