Question

Сторони паралелограма дорівнюють 3 см і 8см а кут між ними дорівнює 60 градусів. Знайдіть довжини діагоналей паралелограма

Answer 1

Ответ:

BD = 7 cм. АС = √97 см.

Объяснение:

Дано: параллелограмм ABCD. AB = 3 см, AD= 8 см. ∠BAD = 60°.

Найти АС и ВD.

Решение.

В треугольнике АВD по теореме косинусов:

BD² = AB²+AD² - 2·AB·AD·Cos(∠BAD).  ∠BAD =60° (дано).

Cos60 = 1/2.  Тогда

BD² = 3²+8² - 2·3·8·1/2 = 49. =>  BD = √49 = 7 см.

В параллелограмме противоположные стороны равны, а углы, прилежащие к одной стороне, в сумме равны 180°:

ВС = AD = 8 см.  ∠АВС = 180° - 60° =120°.  Cos120= - Cos60.

Тогда по теореме косинусов в треугольнике АВС:

АС² = AB²+ВС² - 2·AB·ВС·Cos(∠АВС).  ∠АВС =120°.

Соs120 = -Cos60 = - 1/2. Тогда

AC² = 9+64 - 2·3·8·(-1/2) = 97. => AC = √97 см.

Можно решить без теоремы косинусов.

Опустим высоту ВЕ. Тогда в прямоугольном треугольнике АВЕ против ∠АВЕ =30° (по сумме острых углов) лежит катет АЕ = АВ/2 = 3/2 = 1,5.

По Пифагору ВЕ  = √(АВ²-АВ²) = √(9-2,25) = √6,75.

ED = AD - AE = 6,5. По Пифагору в треугольнике BED:

BD =  √(BE²+ED²) = √(6,75+6,5²) = √49 = 7 cм.

Опустим высоту СЕ1 = ВЕ на продолжение стороны AD: DE1 = AE = 1,5 (треугольники АВЕ и DCE1 равны по двум углам и стороне), тогда По Пифагору в треугольнике CDE1:

АС =  √(АE1²+СE1²) = √(9,5²+6,75) = √97 cм.