Question

Доведіть нерівність (ху+9)(х+у) ≥ ху, якщо х ≥ 0, у ≥ 0

Answer 1

Доведіть нерівність

(ху+9)(х+у) ≥ ху, якщо х ≥ 0, у ≥ 0

Используем неравенство Коши

a+b ≥ 2√ab

Доказательство:

xy+9 ≥2√9xy=6√xy

x+y≥2√xy

перемножив, получим

(xy+9)(x+y) ≥ 6√xy *2√xy= 12xy

(xy+9)(x+y) ≥  12xy

Так как при х≥0 и у≥0  12xy ≥ xy ⇒ (xy+9)(x+y) ≥ xy

Answer 2

Пояснення:

(а+b)/2≥ √(ab) -нерівність Коші

а+b≥2√(ab)

Довести, що (ху+9)(х+у) ≥ ху,

якщо х ≥ 0, у ≥ 0.

(ху+9) ≥ 2√9ху=6√ху;

х+у≥ 2√ху;

(ху+9)(х+у) =

6√(ху) × 2√(ху)=12ху.

Оскільки за умовою х ≥ 0,

у ≥ 0, то вочевидь 12ху≥ху.

Отже, (ху+9)(х+у) ≥ ху, якщо х ≥ 0, у ≥ 0.