Question

lim n–>∞
(1^1 + 2^2 + 3^3 + ... + n^n) / (n^n)​

Answer 1

Ответ:

1.

Объяснение:

Требуется найти          $\lim\limits_{n\to \infty}\dfrac{1^1+2^2+3^3+\ldots + n^n}{n^n}.$

Воспользуемся дискретным аналогом правила Лопиталя - теоремой Штольца:

    если последовательность $\{b_n\}$ начиная с некоторого номера          

    монотонно стремится к $+\infty,$ причем существует (конечный или  

    бесконечный) предел

                                $\lim\limits_{n\to \infty}\dfrac{a_{n+1}-a_n}{b_{n+1}-b_n},$

    то существует предел

                                       $\lim\limits_{n\to \infty}\dfrac{a_n}{b_n},$

    и эти пределы равны.

В нашем случае понятно, что брать в качестве  $a_n$  и $b_n,$ выполнение условий теоремы Штольца очевидно, поэтому переходим к вычислениям:

        $\lim\limits_{n\to \infty}\dfrac{a_{n+1}-a_n}{b_{n+1}-b_n}=\lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{(n+1)^{n+1}}{(n+1)^{n+1}-n^n}=\lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{1}{1-\frac{n^n}{(n+1)^{n+1}}}=$

              $=\lim\limits_{n\to \infty}\dfrac{1}{1-\frac{1}{\left(\frac{n+1}{n}\right)^n\cdot (n+1)}}=\lim\limits_{n\to \infty}\dfrac{1}{1-\frac{1}{\left(1+\frac{1}{n}\right)^n\cdot (n+1)}}=1.$

Мы воспользовались тем, что $\lim\limits_{n\to \infty}\left(1+\dfrac{1}{n}\right)^n=e,$ а $\lim\limits_{n\to \infty}(n+1)=\infty$ (хотя достаточно было бы заметить, что $\left(\dfrac{n+1}{n}\right)^n > 1).$

Отсюда по теореме Штольца исходный предел также равен 1.