Question

Помогите решить задачу Коши пожалуйста

Answer 1

Ответ:

a=1;  b=2;  c=1.

Пошаговое объяснение:

Дано дифференциальное уравнение $y'=y^2+e^{-2x}$  с начальным условием  $y(0)=1.$ Предполагая, что решение раскладывается в абсолютно сходящийся степенной ряд (ряд Тейлора) в окрестности нуля, нужно найти три первых члена разложения.

Имеем: $y=a+bx+cx^2+\ldots ,$ причем $a=y(0), \ b= y'(0),\ c=\frac{y''(0)}{2!}.$

Первый коэффициент дает нам начальное условие:  a=y(0)=1.

Второй коэффиент мы находим благодаря уравнению:

                         $b=y'(0)=y^2(0)+e^{-2\cdot 0}=1^2+1=2.$

Третий коэффициент мы находим, продифференцировав уравнение:

              $y''=(y')'=(y^2+e^{-2x})'=(y^2)'+(e^{-2x})'=2yy'-2e^{-2x};$

                   $y''(0)=2y(0)\cdot y'(0)-2e^0=4-2=2;\ c=\dfrac{y''(0)}{2}=1.$  

Таким образом,                     $y=1+2x+x^2+\ldots$