Найти промежутки выпуклости и точки перегиба
функции y= x4−8x3+ 18x2−48x+ 31.
Ответы
Найти промежутки выпуклости и точки перегиба
функции y= x^4−8x^3+ 18x²−48x+ 31.
Сначала находим точки перегиба.
Находим первую производную.
y’ = 4x^3 − 24x² + 36x – 48
Находим вторую производную.
y’’ = 12x² - 48x + 36 = 12(x² - 4x + 3).
Приравняв её нулю, находим точки перегиба.
12(x² - 4x + 3) = 0. Приравниваем нулю множитель в скобках.
x² - 4x + 3 = 0. D = 16 – 4*1*3 = 4. √D = +-2.
x_1 = (4 – 2)/2 = 1,
x_2=(4 + 2)/2 = 3.
Найдены 2 точки перегиба: х = 1 и х = 3.
Далее приступаем к анализу выпуклости и вогнутости.
Дважды дифференцируемая функция одной переменной выпукла на интервале тогда и только тогда, когда её вторая производная неотрицательна на этом интервале.
Находим знаки второй производной на промежутках между точками перегиба.
x 0 1 2 3 4
y 36 0 -12 0 36
Отсюда определяем:
На промежутке 1 < x < 3 график функции выпуклый,
x < 1 и x > 3 график функции вогнутый.
