Question

Вычеслить, является ли бесконечно убывающая геометрическая прогрессией, последовательность задания формулой первого члена bn=3^n-1*7^2-n

Answer 1

Ответ:

Последовательность задана формулой n-го члена:  $b_{n}=3^{n-1}\cdot 7^{2-n}$  .

$b_{n}=3^{n}\cdot 3^{-1}\cdot 7^2\cdot 7^{-n}=3^{n}\cdot \dfrac{1}{3}\cdot 49\cdot \dfrac{1}{7^{n}}=\dfrac{49}{3}\cdot \Big(\dfrac{3}{7}\Big)^{n}$ .

n-ый член последовательности записали как произведение числа на показательную убывающую функцию. Значит, это бесконечно убывающая геометрическая прогрессия . Действительно, выпишем несколько членов последовательности .

$\displaystyle b_1=\dfrac{49}{3}\cdot \frac{3}{7}=7\ \ ;\ \ b_2=\frac{49}{3}\cdot \Big(\frac{3}{7}\Big)^2=3\ \ ;\ \ b_3=\frac{49}{3}\cdot \Big(\frac{3}{7}\Big)^3=\frac{9}{7}\ \ ;\ ...\ ;\\\\\\b_{n}=\frac{49}{3}\cdot \Big(\frac{3}{7}\Big)^{n}=7\cdot \Big(\frac{3}{7}\Big)^{n-1}\ \ ;\ \ b_{n+1}=\frac{49}{3}\cdot \Big(\frac{3}{7}\Big)^{n+1}=7\cdot \Big(\frac{3}{7}\Big)^{n}\ \ ;\ ...$  

Найдём   $\displaystyle q=\frac{b_{n+1}}{b_{n}}=\frac{49}{3}\cdot \Big(\frac{3}{7}\Big)^{n+1}:\frac{49}{3}\cdot \Big(\frac{3}{7}\Big)^{n}=\frac{3}{7} < 1$  .

Получили, что отношение последующего члена последовательности к предыдущему является постоянным числом, не зависящим от  n . Значит это геометрическая прогрессия со знаменателем  $q=\dfrac{3}{7}$  .

И это число меньше  1 . Значит при таком  q  имеем бесконечно

убывающую геометрическую прогрессию  $(\ |q| < 1\ )$ .