Question

ДАЮ 80 БАЛОВ

Бісектриса кута прямокутника ділить його більшу сторону на вiдрiзки

12 см і 2 см, рахуючи від вершини протилежного до нього кута. Знайти

периметр прямокутника.

Answer 1

Ответ:

Периметр прямоугольника равен 32 см

Объяснение:

Дано: ABCD - прямоугольник, AK - биссектриса, DK = 2 см, KC = 12 см,

Найти: $P_{ABCD} \ - \ ?$

Решение:

По основному свойству отрезка:

DC = DK + KC = 2 см + 12 см = 14 см

По определению прямоугольника его углы равны 90°, тогда так как по условию ABCD - прямоугольник, то угол ∠BAD = ∠KDA = 90°.

Так как по условию AK - биссектриса, то по определению биссектрисы:

∠BAK = ∠DAK = ∠BAD : 2 = 90° : 2 = 45°.

Рассмотрим треугольник ΔKAD.

По теореме про сумму углов треугольника:

∠KDA + ∠KAD + ∠DKA = 180° ⇒ ∠DKA = 180° - ∠KDA - ∠KAD =

= 180° - 90° - 45° = 90° - 45° = 45°.

По теореме если два угла треугольника равны, то данный треугольник - равнобедренный, тогда так как ∠DKA = ∠DAK = 45°, то треугольник ΔKAD - равнобедренный, тогда DK = AD = 2 см.

По свойствам прямоугольника (ABCD) его противоположные стороны равны, тогда AD = BC = 2 см, DC = AB = 14 см.

По определению периметра прямоугольника (ABCD):

$P_{ABCD} = AD + BC + DC + AB = 2 + 2 + 14 + 14 = 4 + 28 = 32$ см.