Question

Задача з геометрії(теорема синусів та косинусів)

Answer 1

Дві сторони √2 та √3 невідома сторона x Радіус описаного кола R

Напівпериметр

p = (x + √2 + √3)/2

Площа за формулою Герона

S² = p(p-a)(p-b)(p-c)

S² = 1/2⁴*(x + √2 + √3)(x + √2 + √3 - 2√2)(x + √2 + √3 - 2√3)(x + √2 + √3 - 2x) 16S² = (x + √2 + √3)(x + √3 - √2)(x + √2 - √3)(√2 + √3 - x)

-----------------------------------------------

Перші дві дужки

(x + √2 + √3)(x + √3 - √2) = x² + 2√3*x + 1

Третя та четверта дужки

(x + √2 - √3)(√2 + √3 - x) = - x² + 2√3*x - 1

ціле

(x² + 2√3*x + 1)(- x² + 2√3*x - 1) = - x⁴ + 10x² - 1

16S² = - x⁴ + 10x² - 1

-----------------------------------------------------------

Радіус описаного кола через площу та сторони

R = abc/(4S)

R = x√2√3/(4S)

R² = x²*2*3/(16S²)

16S²*R² = 6x²

за умовою R = x

(- x⁴ + 10x² - 1)x² = 6x²

- x⁴ + 10x² - 1 = 6

- x⁴ + 10x² - 7 = 0

підстановка t = x²

t² - 10t + 7 = 0

t1 = (10 - √(100 - 28))/2 = 5 - √72/2 = 5 - √18 = 5 - 3√2 ≈ 0,7574 > 0

x₁ = +√(5 - 3√2)

-------------------------------------------------------

Негативний корінь відкинули)

t₂ = (10 + √(100 - 28))/2 = 5 + 3√2

x₂ = +√(5 + 3√2)

(ще один негативний корінь відкинули)

Задача має два розвязки

√(5 - 3√2)

√(5 + 3√2)