Question

Решите уравнение , найдите самый простой метод вычисления , решения в лоб столбиком или калькулятором не принимаются

$(71^2 + 81^2) (7^2 + 8^2)= 1135^2 + x^2$

Answer 1

$(71^2+81^2)(7^2+8^2)=1135^2+x^2$

Сложно что-то придумать, поэтому раскроем скобки, но окончательные значения произведений не находим:

$71^2\cdot7^2+71^2\cdot8^2+81^2\cdot7^2+81^2\cdot8^2=1135^2+x^2$

$(71\cdot7)^2+(71\cdot8)^2+(81\cdot7)^2+(81\cdot8)^2=1135^2+x^2$

$497^2+568^2+567^2+648^2=1135^2+x^2$

В левую часть перенесем $1135^2$, и в паре с каким-то слагаемым попробуем применить формулу разности квадратов. Учитывая, что $568+567=1135$, попробуем сгруппировать так:

$497^2+568^2-1135^2+567^2+648^2=x^2$

$497^2+(568-1135)\cdot(568+1135)+567^2+648^2=x^2$

$497^2+(-567)\cdot1703+567^2+648^2=x^2$

Получился общий множитель, который вынесем за скобки:

$497^2-567\cdot(1703-567)+648^2=x^2$

$497^2-567\cdot1136+648^2=x^2$

В левой части что-то напоминает квадрат разности:

$497^2-2\cdot567\cdot568+648^2=x^2$

Остается понять, равны ли произведения чисел 497 и 648, а также 567 и 568:

$497^2-2\cdot(3^4\cdot7)\cdot(2^3\cdot71)+648^2=x^2$

$497^2-2\cdot(7\cdot71)\cdot(2^3\cdot3^4)+648^2=x^2$

$497^2-2\cdot497\cdot648+648^2=x^2$

$(497-648)^2=x^2$

$x^2=(-151)^2$

$|x|=|-151|$

$|x|=151$

$x=\pm151$

Ответ: -151; 151

Answer 2

Ответ:

$\pm 151.$

Пошаговое объяснение:

Не могу гарантировать, что мой способ САМЫЙ простой, но думаю, что просто аннулировать его было бы неправильно.

                  $x^2=((70+1)^2+(80+1)^2)(7^2+8^2)-1135^2=$

         $=(70^2+80^2+140+160+1+1)(7^2+8^2)-(1130+5)^2=$

                  $=(11300+302)\cdot 113-(1130^2+11300+25)=$

     $=1130^2+113\cdot 302-1130^2-113\cdot 100-25=113\cdot202-25=22801.$

Остается извлечь корень. Есть простой способ извлечения корня столбиком, но автор задания не разрешает его использовать.

Если это число является полным квадратом, то очевидно корень из него является числом трехзначным, причем первая цифра - 1. Далее, последняя цифра 1 или 9 - это тоже очевидно. Вторая цифра меньше 6 - ведь 160²=25600>22801, но больше 4 - ведь

150²=22500<22801. Поэтому у нас два претендента - 151 и 159; подходит 151:

                                               151²=22801.