Question

$a \cdot b \cdot c = 1$

Докажите, что $a + b + c \ge 3$

Answer 1

Довольно просто доказывается с помощью неравенства Коши :

$\displaystyle x_1 + x_2 + x_3 + \ldots + x_n \geqslant n\cdot \sqrt[n]{x_1 \cdot x_2 \cdot x_3 \cdot \ldots \cdot x_n }$

Все числа в  данном неравенстве  больше нуля

В нашем случае

$a+ b+c \geqslant 3\sqrt[3]{abc}$

Подставим $abc = 1$

$a+ b+c \geqslant 3\sqrt[3]{1} \\\\ a+ b + c\geqslant 3$

Неравенство доказано !