Question

85 баллов
Найдите наибольшее и наименьшее значение выражения $1 - \sqrt{cos^2a} - 2 sin^2a$

Answer 1

Ответ:

Наибольшее значение равно   0

Наименьшее равно   - 1

Пошаговое объяснение:

Найдите наибольшее и наименьшее значение выражения

$y=1-\sqrt{\cos ^2a} - 2\sin ^2a$

Вспомним что :

$\cos 2x = 1 - 2\sin ^2x$

Тогда

$y = 1-\sqrt{\cos ^2a} - 2\sin ^2a = 1 - 2\sin ^2a - |\cos a| = \cos 2a - |\cos a|$

Найдем критические точки,

Теперь находим производную

$(~\cos 2 a - |\cos a| ~) '$

1) Допустим угол  косинуса находится в  I или IV четверти , тогда модуль раскроется с плюсом

$(~\cos 2 a - \cos a ~) ' = -2 \sin 2a -(- \sin a) = -2 \sin 2a +\sin a =0 \\\\ -2 \sin 2a + \sin a = 0 \\\\ - 2\sin a \cos a + \sin a = 0 \\\\\ \sin a( -2 \cos a + 1)=0$

Найдем критические точки

$\sin a = 0 \Rightarrow a_1 =0 \\\\ \cos a =\dfrac{1}{2} \Rightarrow a_2= \dfrac{\pi }{3}$

Подставив в исходную функцию получим

$y _{max } =f(0) =\cos 0 - |\cos 0| = 1 - 1= 0$

$y_{min} = f(\tfrac{\pi }{3} ) =\cos \frac{2\pi }{3} - |\cos \frac{\pi }{3}| =-\dfrac{1 }{2} - \dfrac{1}{2} =-1$

2) Теперь рассмотрим случай когда угол   косинуса находится во II  или III четверти , тогда модуль раскроется  с минусом

$(~\cos 2 a - (-\cos a) ~) ' =(~\cos 2 a +\cos a) ' = -2 \sin 2a - \sin a =\\\\ -2 \sin 2a -\sin a =0 \\\\ -\sin a (2\cos a + 1) =0$

Найдем критические точки

$\sin a = 0 \Rightarrow a_1 =\pi \\\\ \cos a =-\dfrac{1}{2} \Rightarrow a_2= \dfrac{2\pi }{3}$

$y _{max } =f(\pi ) =\cos 2\pi - |\cos \pi | = 1 - 1= 0$

$y_{min} = f(\tfrac{2\pi }{3} ) =\cos \frac{4\pi }{3} - |\cos \frac{2\pi }{3}| =-\dfrac{1 }{2} - \dfrac{1}{2} =-1$

Если раскрыть модуль  с плюсом ,  или минусом  выходят одинаковые критические точки

Соответственно ,  максимальное значение  данного выражения равно  0 ,  а   минимальное  - 1