Question

будь ласка допоможіть мені, я не знаю що робити, дам 50 балів ну дуже потрібно, будь ласка



Автобусні квитки мають номери від 000 000 до 999 999. Квиток називають щасливим», якщо сума перших трьох цифр його номера дорівнює сумі останніх трьох цифр. Доведіть, що: 1) кількість усіх «щасливих квитків парна; 2) сума номерів усіх «щасливих квитків кратна 999.​

Answer 1

Ответ:

Это довольно известная задача.

Для любого счастливого билета существует парный ему билет, у которого каждая цифра является дополнением соответствующей цифры счастливого билета до 9.

Например

183291 парный билет будет 816708

и в этих парных билетах сумма первых трех цифр будет равняться сумме последних трех.

Посмотрим.

хyznmk первое число (x+y+z) = (n+m+k) (1)

(9-x)(9-y)(9-z)(9-n)(9-m)(9-k) второе число.

Посмотрим, будет ли сумма первых трех цифр у этого числа равняться сумме последних трех.

9-x + 9-y + 9-z ? 9-n + 9-m + 9-k

27 - (x+y+z) ? 27 - (m+n+k)

Учитывая формулу (1), мы можем сделать вывод, что во втором числе выполняется равенство

9-x + 9-y + 9-z = 9-n + 9-m + 9-k,

т.е. в парном числе выполняется условие, что сумма первых трех цифр равна сумме последних трех цифр.

При этом каждому счастливому билету соответствует также счастливый билет. И других счастливых билетов нет.

Таким образом, все счастливые билеты мы разбили на пары. Т.е. количество счастливых билетов является числом четным.