Question

1 скрин)вычислить произведение и частное двух комплексных чисел в тригонометрической форме
2 скрин) применяя формулу Муавра, найти z^n

Answer 1

Ответ:

№1

$z_1 \cdot z_2 = 4\sqrt{3} \bigg(\cos \dfrac{5\pi }{6} + \sin \dfrac{5\pi }{6} i\bigg)$

$\displaystyle \dfrac{z_1}{z_2} = \sqrt{3} \bigg(\cos \dfrac{3\pi }{2} + i \sin\dfrac{3\pi }{2}\bigg )$

№2

$\displaystyle z^n =16 + 16\sqrt{3} i$

Объяснение:

№1

Вычислить произведение и частное двух комплексных чисел в тригонометрической форме

$z_1 = -3 - i\sqrt{3}$

$z_2 = 1 -\sqrt{3} i$

Находим произведение :

$z_1 \cdot z_2 = (-3-i\sqrt{3} )(1-\sqrt{3} i ) = -3 - i\sqrt{3} +3\sqrt{3} i -3 = \\\\ = -6+2\sqrt{3} i$

Запись числа $z = a + bi$ в виде  

$z= r(\cos \varphi + i \sin \varphi )$  называется тригонометрической формой числа

$|z|=r = \sqrt{a^2+b^2}$

Находим тригонометрическую форму для числа  $- 6+ 2\sqrt{3} i$

$r= \sqrt{(-6)^2+ (2\sqrt{3}) ^2}=\sqrt{36 + 12} = 4\sqrt{3}$

$\displaystyle- 6+ 2\sqrt{3} i = 4\sqrt{3} \bigg(-\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{2} i \bigg) = 4\sqrt{3} \bigg(\cos \frac{5\pi }{6} + \sin \frac{5\pi }{6} i\bigg)$

$\star ~\cos \dfrac{5\pi }{6} = -\dfrac{\sqrt{3} }{2} ~ \star$

Находим частное :

$\displaystyle \dfrac{z_1}{z_2} =\frac{-3-i\sqrt{3} }{1-\sqrt{3} i }\cdot \frac{1+\sqrt{3}i }{1+ \sqrt{3} i } =\frac{(-3 - i\sqrt{3} )(1+\sqrt{3} i)}{1^2 - (\sqrt{3} i)^2} =\frac{\not \!\!\!\!\!-3 -i\sqrt{3} -3\sqrt{3}i +\not \!3}{1+3} = \\\\\\\ =\frac{-4\sqrt{3} i }{4} = - \sqrt{3} i$

Находим тригонометрический вид данного числа

$r=\sqrt{(\sqrt{3} )^2+0^2} = \sqrt{3}$

$-\sqrt{3} i = \sqrt{3}(0 - i ) = \sqrt{3} \bigg(\cos \dfrac{3\pi }{2} + i \sin\dfrac{3\pi }{2}\bigg )$

№2

Для нахождения ,  сначала найдем тригонометрический вид для числа  $1- \sqrt{3} i$

$r = \sqrt{1^2 + (-\sqrt{3} )^2} = 2$

$\displaystyle 1- \sqrt{3} i = 2 \bigg(\frac{1}{2} -\frac{\sqrt{3}}{2} i \bigg ) = 2\bigg(\cos \bigg (-\frac{\pi }{3} \bigg ) + \sin \bigg (-\frac{\pi }{3}\bigg)\cdot i \bigg)$

Формула Муавра :

$z^n = \big ( r(\cos \varphi + i\sin \varphi ) \big )^n = r^n (\cos n \varphi + i \sin n \varphi )~ , ~ n \in \mathbb N$

Вычисляем  zⁿ

$(\displaystyle 1- \sqrt{3} i)^5 =\left ( 2\bigg(\cos \bigg (-\frac{\pi }{3} \bigg ) + \sin \bigg (-\frac{\pi }{3}\bigg)\cdot i \bigg)\right )^5 =\\\\\\\ = 2^5 \Bigg(\cos\bigg(-\frac{5\pi }{3} \bigg) + \sin\bigg (-\frac{5\pi }{3} \bigg ) \cdot i \Bigg ) = \\\\\\\\=32 \Bigg(\cos\bigg(\frac{\pi }{3} \bigg) + \sin\bigg (\frac{\pi }{3} \bigg ) \cdot i \Bigg ) =32\bigg ( \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3} }{2}i \bigg ) = 16 + 16\sqrt{3} i$