Question

Встановити аналістичність комплексної функції w=F(z) i, якщо це можливо, обчислити значення її поідної у т. Z0

Answer 1

Ответ:

1) Функция аналитическая и $\boldsymbol{w'(z_{0}) = 11 - 2i}$

2) Функция не аналитическая и не дифференцируема

Пошаговое объяснение:

По определению:

$i^{2} =-1$

По определению комплексного числа:

$z = x + iy$

По формуле Эйлера:

$e^{i \phi} = \cos \phi + i \sin \phi$

По теореме функция является однозначной аналитической функции одной комплексной переменной если для неё выполняются условия Коши — Римана (Даламбера — Эйлера):

$\displaystyle \left \{ {{\dfrac{\partial u}{\partial x} = \dfrac{\partial v}{\partial y}} \atop {\dfrac{\partial u}{\partial y} =- \dfrac{\partial v}{\partial x}} \right.$

Где $u(z)$ и $v(z)$ — вещественная и мнимая части рассматриваемой функции.

14.

1) $w = z^{2} + 5z - 7, \ z_{0} =3 - i$

$w = ( x + iy)^{2} + 5( x + iy) - 7 = x^{2} + 2ixy - y^{2} + 5x + 5iy - 7 =$

$= (x^{2} + 5x - y^{2} - 7) + i(2xy + 5y)$

$u = x^{2} + 5x - y^{2} - 7$ - действительная часть

$v = 2xy + 5y$ - мнимая часть

${\dfrac{\partial u}{\partial x} = (x^{2} + 5x - y^{2} - 7)_{x}' = 2x + 5$

${\dfrac{\partial v}{\partial y} = (2xy + 5y)_{y}' = 2x + 5$

${\dfrac{\partial u}{\partial y} = (x^{2} + 5x - y^{2} - 7)_{y}' = -2y$

${\dfrac{\partial v}{\partial x} = (2xy + 5y)_{x}' = 2y$

$\displaystyle \left \{ {{2x + 5 =2x + 5} \atop {-2y =-2y} \right.$ - условия Коши - Римана выполнены, следовательно функция $w$ - аналитическая.

Так как функция аналитическая, то она является дифференцируемой.

$w' = (z^{2} + 5z - 7)' = 2z + 5$

$w'(z_{0}) =2(3 - i) + 5 = 6 - 2i + 5= 11 - 2i$

2) $w = ie^{iz + 3}, \ x_{0} = -1 + i$

$w = ie^{iz + 3} = e^{3}ie^{iz} = e^{3}ie^{i(x + iy)} = e^{3}ie^{ix - y} = e^{3 - y}ie^{ix} =$

$= e^{3 - y}i( \cos x + i \sin x) = -e^{3 - y} \sin x + ie^{3 - y} \cos x$

$u = -e^{3 - y} \sin x$ - действительная часть

$v = e^{3 - y} \cos x$ - мнимая часть

${\dfrac{\partial u}{\partial x} = (-e^{3 - y} \sin x)_{x}' = -e^{3 - y} \cos x$

${\dfrac{\partial v}{\partial y} = (e^{3 - y} \cos x)_{y}' = (3 - y)_{y}'e^{3 - y}\cos x =-e^{3 - y}\cos x$

${\dfrac{\partial u}{\partial y} = ( -e^{3 - y} \sin x)_{y}' = (3 - y)_{y}'e^{3 - y}\sin x = - e^{3 - y}\sin x$

${\dfrac{\partial v}{\partial x} = (e^{3 - y} \cos x)_{x}' = -e^{3 - y} \sin x$

$\displaystyle \left \{ {{ -e^{3 - y} \cos x= -e^{3 - y} \cos x} \atop {- e^{3 - y}\sin x \neq e^{3 - y}\sin x}} \right.$ - условия Коши - Римана не выполнены, следовательно функция $w$ - не аналитическая и не дифференцируема.