Question

Как это решать, помогите подробно с объяснением, пожалуйста.

Answer 1

Ответ:

Чтобы было удобнее писать и решать неравенство, заменим показатель степени на новую переменную .

$y=\dfrac{x^2-4}{x^2-2x+1}=\dfrac{(x-2)(x+2)}{(x-1)^2}\ \ ,\ \ x\ne 1\\\\\\6\cdot 25^{^{y}}-5\cdot 10^{^{y}}\leq 4^{^{y}}\ \ \ \Rightarrow \ \ \ 6\cdot 25^{^{y}}-5\cdot 10^{^{y}}-4^{^{y}}\leq 0\ \Big|\, :2^{^{2y}} > 0$  

Разделим неравенство на положительное выражение  $2^{^{2y}}$ , знак неравенства не изменится .

$6\cdot 5^{^{2y}}-5\cdot 5^{^{y}}\cdot 2^{^{y}}-2^{^{2y}}\leq 0\ \Big|\, :2^{^{2y}} > 0\\\\6\cdot \Big(\dfrac{5}{2}\Big)^{2y}-5\cdot \Big(\dfrac{5}{2}\Big)^{y}-1\leq 0$  

Опять введём замену  $z=\Big(\dfrac{5}{2}\Big)^{y} > 0$  ,   получим квадратное

неравенство    $6z^2-5z-1\leq 0\ \ ,\ \ \ D=5^2+4\cdot 6=49=7^2\ ,$  

$z_1=\dfrac{5-7}{12}=-\dfrac{1}{6}\ \ ,\ \ \ z_2=\dfrac{5+7}{12}=1\ \ \ \Rightarrow \ \ \ \ 6\, (z+\frac{1}{6})(z-1)\leq 0$  

Решаем неравенство методом интервалов, учитывая, что  $z > 0$  .

Знаки:   $(0)---[\ 1\ ]+++++$    ,     $0 < z\leq 1\ .$

Возвращаемся к старой переменной .

$0 < \Big(\dfrac{5}{2}\Big)^{y}\leq 1\ \ \ \Rightarrow \ \ \ \Big(\dfrac{5}{2}\Big)^{y}\leq \Big(\dfrac{5}{2}\Big)^{0}\ \ \ \Rightarrow \ \ \ \boldsymbol{y\leq 0}$

Заменяем  y   на соответствующее выражение и решаем неравенство опять методом интервалов .

$\dfrac{(x-2)(x+2)}{(x-1)^2}}\leq 0\\\\znaki:\ \ \ +++[-2\ ]---(1)---[\ 2\ ]+++\\\\\boldsymbol{x\in [-2\ ;\ 1\ )\cup (\ 1\ ;\ 2\ ]}\ \ -\ \ otvet$