Question

5.4 задание уравнение (подробно

Answer 1

Ответ:

$a) ~~(x^2 +8x+10)(x^2 + 8x + 12) = (x+2)(x+6)(x^2 + 8x + 10 ) \\\\ b) ~~(x+1)(x+2)(x+3)(x+4) - 24 = (x+5)x(x^2 + 5x + 10)$

Пошаговое объяснение:

a)

Группируем уравнения таким образом , чтобы сумма коэффициентов c  x-сом   была равной

К примеру

$(x+\pmb1)(x+\underline{3}) (x+\underline{5} )(x+\pmb7) + 15 \\\\ \Big((x+1)(x+7) \Big ) \Big ((x+3)(x+5)\Big )+ 15 \\\\ (x^2 + \pmb 8x + 7)(x^2 +\pmb8x + 15) + 15$

( 1 + 7 = 3 + 5)

Теперь вводим замену

$\star ~t = x^2 + 8x + 7 ~~ ; ~~ t + 8 = x^2 + 8x +15 ~ \star$

$t(t+8) + 15 = t^2 + 8t + 15 = (t+3)(t+5)$

Подставим старую переменную

$(x^2 +8x+10)(x^2 + 8x + 12) = (x+2)(x+6)(x^2 + 8x + 10 )$

Уравнение  $x^2 + 8x + 10$ разложим с помощью дискриминанта

$D = 64 - 40 = 24 \\\\\\ x_{1;2} =\dfrac{-8\pm2\sqrt{6} }{2} = - 4\pm \sqrt{6}$

$x^2 + 8x + 10 = (x +4+\sqrt{6} )(x+ 4- \sqrt{6} )$

Тогда , наш многочлен имеет следующее разложение

$(x+1)(x+3}) (x+5)(x+7) + 15 = (x+2)(x+6) (x +4+\sqrt{6} )(x+ 4- \sqrt{6} )$

б)

Аналогично

$(x+1)(x+2)(x+3)(x+4) - 24 \\\\ \Big( (x+1)(x+4)\Big )\Big( (x+2)(x+3) \Big)- 24 \\\\ (x^2+5x + 4)(x^2 + 5x + 6) - 24$

Вводим замену

$\star ~ t = x^2 + 5x + 4 ~~ , ~~ t + 2 = t + 2 = x^2 + 5x + 6 ~\star$

$t(t+2) - 24 = t^2 + 2t - 24 = (t+6)(t-4)$

Возвращаемся  к старой переменной

$(x^2+5x + 4+6)(x^2 + 5x + 4-4) = (x^2 + 5x + 10)(x+5)x$

Дискриминант  у уравнения   $x^2 + 5x + 10 =0$  меньше нуля , значит дальше можно не продолжать разложение

$x^2 + 5x + 10 =0 \\\\ D = 25 - 40 < 0$