Question

Сколько квадратных чисел среди делителей 20! + 20!​

Answer 1

Ответ:  300 квадратов имеется среди делителей  20! + 20!​

Объяснение:

20! + 20! = 2·20!

Для простых чисел $2^n ~ ; ~ 3^m ~ ; 5^k ~ ;~ 7 ^p$найдем   максимальное по отдельности значение для  n,m,k,p  ;  при котором  20!  будет делится нацело на  $2^n ~ ; ~ 3^m ~ ; 5^k ~ ;~ 7 ^p$

$2^n ~ ; ~ 3^m ~ ; 5^k ~ ;~ 7 ^p$дальше ряд простых чисел можно не продолжать ,
т.к   $\displaystyle \bigg[\frac{20}{11} \bigg ] = 1$  

Степень у $2^n$   равна

$\displaystyle n = \bigg[\frac{20}{2} \bigg ] +\bigg[\frac{20}{4} \bigg ]+ \bigg[\frac{20}{8} \bigg ]+ \bigg[\frac{20}{16} \bigg ] = 10 + 5 + 2 + 1 = 18$

и т.к у нас  2·20!  , у нас имеется дополнительная двойка

поэтому степень двойки равна 18 + 1 = 19

Степень  у   $3^m$  равна

$\displaystyle m = \bigg[\frac{20}{3} \bigg ] +\bigg[\frac{20}{9} \bigg ] = 6 + 2 = \pmb 8$

Степень  у   $5^k$  равна  

$\displaystyle k = \bigg[\frac{20}{5} \bigg ] +\bigg[\frac{20}{25} \bigg ] = 4 + 0 = 4$

Степень у  $7^p$  равна

$\displaystyle p= \bigg[\frac{20}{7} \bigg ] +\bigg[\frac{20}{14} \bigg ] = 2$

Т.е все имеющиеся  квадратные  числа которые находятся среди делителей у 2·20!  можно  образовать  с помощью  данных делителей

$2 ^ {19} ~ ; ~ 3 ^{8 } ~ ; ~ 5^4 ~ ; ~7^2$

Самое важно не забыть , что   1 является полным квадратом

А далее уже

C  одной двойкой можно образовать 9 квадратов

$2^2 ~ ; ~ 2^4 ~;~...~ ;~ 2^{18}$

С тройкой   4  квадрата

$3^2~; ~ 3^4 ~; ~3^6 ~ ; ~3^8$

С пятеркой   2 квадрата

$5^2 ~ ; ~ 5^4$

С семеркой 1 квадрат

$7^2$

Всего их :

$9 +4 + 2 + 1 +1= 17$

Теперь рассмотрим квадраты которые состоят из делителей которые кратны только    двум простым делителям

К примеру  2 и  3

Всего их будет  $9 \cdot 4 = 36$

(4 это кол-во квадратов делители которых состоят только из 3 ,  а 9 кол-во квадратов которых состоят из  2 )

По той же аналогии

Находим  квадраты кратные
2 и 3 ;  2 и 5 ;  2 и 7 ; 3 и 5  ; 3 и 7 ;  5 и 7

и сразу найдем их сумму

$9 \cdot 4 + 9 \cdot 2 + 9 \cdot 1 + 4 \cdot 2 + 4 \cdot 1 + 2\cdot 1 = 9(4+2+1)+ 4(2+1) + 2 = \\\\ =63 + 12 + 2 = 77$

Далее рассмотрим квадраты имеющие три простых делителя

2 и 3 и 5 ;  2 и 3 и 7 ; 2 и 5 и 7 ;   3 и  5 и 7

$9 \cdot 4 \cdot 2 + 9 \cdot 4 \cdot 1 + 9 \cdot 2 \cdot 1 + 4\cdot 2 \cdot 1 = 72 + 36 + 18 + 8 = 134$

И наконец квадраты кратные   сразу 2 и 3 и 5 и 7

$9\cdot 4 \cdot 2 \cdot 1 = 72$

Их общее кол-во равно :

$17 + 77 + 134 + 72 = 94 + 206 = 300$