Question

Срочно 50 баллов
Вычислить интеграл, выбрав подходящий метод
1) ∫x (2x-3)^8dx
2)∫x (1-2x)^5dx

Answer 1

№1

$\displaystyle \int\limits x \cdot (2x-3)^8 \, dx= \frac{1}{4} \bigg ( \frac{(2x-3)^{10}}{10}+ \frac{(2x-3)^{9}}{3} \bigg )+C$

Введем замену

$t = 2x - 3 \\\\ \dfrac{t}{2} = x -\dfrac{3}{2} \Leftrightarrow x= \dfrac{t+3}{2}$

$\boxed{x\cdot (2x-3)^8 =\dfrac{1}{2} (t+3)\cdot t^8 = \dfrac{1}{2}(t^9 + 3 t^8)}$

$\displaystyle \int\limits x \cdot (2x-3)^8 \, dx = \int\limits x \cdot (2x-3)^8 \cdot \frac{1}{2} \, d(2x-3) = \displaystyle \int\limits \frac{1}{2}\cdot (t^9 +3t^8) \cdot \frac{1}{2} \, dt = \\\\\\ =\frac{1}{4}\cdot \int\limits ( t^9 +3t^8)\, dt = \frac{1}{4}\bigg (\frac{t^{9+1}}{9+1}+ 3\cdot \frac{t^{8+1}}{8+1} \bigg) = \frac{1}{4}\bigg ( \frac{t^{10}}{10}+ \frac{t^9}{3 } \bigg )+C$

Подставим  $t = 2x - 3$

$\displaystyle \frac{1}{4}\bigg ( \frac{t^{10}}{10}+ \frac{t^9}{3 } \bigg )+C = \frac{1}{4} \bigg ( \frac{(2x-3)^{10}}{10}+ \frac{(2x-3)^{9}}{3} \bigg )+C$

№2

$\displaystyle \int\limits x \cdot (1-2x)^5 \, dx=\dfrac{1}{4} \bigg (\frac{(1-2x)^7}{7}-\frac{(1-2x)^6}{6} \bigg ) +C$

По той же аналогии

$t = 1 - 2x \\\\ \dfrac{t}{2} = -x +\dfrac{1}{2} \Leftrightarrow x= \dfrac{1-t}{2}$

$\boxed{\displaystyle x \cdot (1-2x)^5 =\frac{1-t}{2}\cdot t^5 = \frac{t^5 -t^6}{2}}$

$\displaystyle \int\limits x \cdot (1-2x)^5 \, dx = \int\limits x \cdot (1-2x)^5 \cdot \bigg(-\frac{1}{2} \bigg )\, d(1-2x) =\\\\\\= \displaystyle \int\limits \frac{1}{2}\cdot\bigg(-\frac{1}{2} \bigg )\cdot (t^5 -t^6) \, dt = - \frac{1}{4}\int\limits (t^5 - t^6) \, dt = -\frac{1}{4}\bigg ( \frac{t^6}{6} - \frac{t^7}{7} \bigg) +C$

Подставим  $t = 1 - 2x$

$\displaystyle -\frac{1}{4}\bigg ( \frac{t^6}{6} - \frac{t^7}{7} \bigg) +C = -\frac{1}{4}\bigg (\frac{(1-2x)^6}{6} -\frac{(1-2x)^7}{7} \bigg ) +C =\\\\\\ =\dfrac{1}{4} \bigg (\frac{(1-2x)^7}{7}-\frac{(1-2x)^6}{6} \bigg ) +C$