Предмет: Математика, автор: serg20072

Астероид В-612 был замечен в телескоп лишь один раз, в 1909 году, одним турецким астрономом. Тот же турецкий астроном описал расстояние от Земли до астероида: у него получилась квадратичная функция s(t)=at^2+bt+c. Однако большая часть данных потерялась. Осталось известно только то, что расстояние было равно 41 млн.км при t=3, 20 млн.км при t=5 и достигло своего минимума при t=7. Найдите минимальное расстояние (в млн.км), на которое астероид приблизился к Земле.

Ответы

Автор ответа: Artem112
18

s(t)=at^2+bt+c

Пусть значения s(t) даются в млн.км.

По условию, расстояние было равно 41 млн.км при t=3:

s(3)=41

a\cdot3^2+b\cdot3+c=41

9a+3b+c=41

По условию, расстояние было равно 20 млн.км при t=5:

s(5)=20

a\cdot5^2+b\cdot5+c=20

25a+5b+c=20

По условию, расстояние достигло своего минимума при t=7. Квадратичная функция достигает своего минимума в вершине:

t_{\min}=7

-\dfrac{b}{2a} =7

Объединим три получившихся соотношения в систему:

\begin{cases} 9a+3b+c=41 \\ 25a+5b+c=20 \\ -\dfrac{b}{2a} =7 \end{cases}

Из третьего уравнения:

b=-14a

Подставим в оставшиеся уравнения:

\begin{cases} 9a+3\cdot(-14a)+c=41 \\ 25a+5\cdot(-14a)+c=20 \end{cases}

\begin{cases} 9a-42a+c=41 \\ 25a-70a+c=20 \end{cases}

\begin{cases} -33a+c=41 \\ -45a+c=20 \end{cases}

\begin{cases} -33a+c=41 \\ 45a-c=-20 \end{cases}

Сложим уравнения:

12a=21

a=\dfrac{21}{12} =\dfrac{7}{4}

Из любого уравнения выразим "с":

c=41+33a

c=41+33\cdot\dfrac{7}{4}=41+\dfrac{231}{4}=41+57\dfrac{3}{4}=98\dfrac{3}{4}

Найдем "b":

b=-14\cdot\dfrac{7}{4} =-\dfrac{49}{2}

Тогда, квадратичная функция имеет вид:

s(t)=\dfrac{7}{4} t^2-\dfrac{49}{2} t+98\dfrac{3}{4}

Минимум функции соответствует значению функции в вершине:

s_{\min}=s(t_{\min})=s(7)=\dfrac{7}{4} \cdot7^2-\dfrac{49}{2} \cdot7+98\dfrac{3}{4}=

=\dfrac{343}{4} -\dfrac{343}{2} +98\dfrac{3}{4}=-\dfrac{343}{4} +98\dfrac{3}{4}=-85\dfrac{3}{4} +98\dfrac{3}{4}=13

Таким образом, минимальное расстояние, на которое астероид приблизился к Земле, равно 13 млн.км

Ответ: 13 млн.км

Похожие вопросы