Question

[3] Дробно-линейная функция задана уравнением: ()=(ax+1)/(2x-b).

a) Асимптоты функции имеют уравнения =2,5, =1,5. Найдите значение переменных a и b.

b) Используя результаты предыдущего действия:

1. приведите функцию ()= (ax+1)/(2x-b)к виду =+ k/(x+m);

2.найдите точки пересечения функции с осями координат;

3.постройте график функции.

[4] a) Найдите обратную функцию для функции

Answer 1

Ответ:

$3)\ \ f(x)=\dfrac{ax+1}{2x-b}$  

a)  Так как асимптота  х=2,5 , то  

$2x-b=0\ \ ,\ \ 2\cdot 2,5-b=0\ \ ,\ \ 5-b=0\ \ ,\ \ \bf b=5$

Так как асимптота  у=1,5 , то отношение коэффициентов перед переменной  х равно    $\dfrac{a}{2}=1,5\ \ ,\ \ \bf a=3$   .

Функция имеет вид:   $f(x)=\dfrac{3x+1}{2x-5}$   .

$\displaystyle b)\ \ \frac{3x+1}{2x-5}=\frac{3}{2}\cdot \frac{x+\frac{1}{3}}{x-\frac{5}{2}}=\frac{3}{2}\cdot \frac{(x-\frac{5}{2})+\frac{5}{2}+\frac{1}{3}}{x-\frac{5}{2}}=\frac{3}{2}\cdot \Big(1+\frac{\frac{17}{6}}{x-\frac{5}{2}}\Big)=\\\\\\=\frac{3}{2}\cdot \Big(1+\frac{17}{6\cdot (x-2,5)}\Big)=\frac{3}{2}}+\frac{17}{4\cdot (x-2,5)}\ \ \ \Rightarrow \ \ \bf n+\frac{k}{x+m}=1,5+\frac{4,25}{x-2,5}\\\\\\n=\frac{3}{2}=1,5\ \ ,\ \ k=\frac{17}{4}=4,25\ \ ,\ \ m=-2,5$

Пересечение с осями координат функции  $f(x)=\dfrac{3x+1}{2x-5}$  :

$OY:\ \ x=0\ ,\ \ f(0)=\dfrac{3\cdot 0+1}{2\cdot 0-5}=-\dfrac{1}{5}=-0,2\ \ ,\ \ \ \boldsymbol{A(\ 0\ ;-0,2\ )}\\\\OX:\ y=0\ ,\ f(x)=\dfrac{3x+1}{2x-5}=0\ \ \to \ \ 3x+1=0\ ,\ x=-\dfrac{1}{3}\ ,\ \ \bf B(-\frac{1}{3}\ ;\ 0\ )$  

4)  a)  Обратная функция.  для   $y=\dfrac{3x+1}{2x-5}$   .

Выразим "х" через  "у" .

$y\, (2x-5)=3x+1\ \ \to \ \ \ 2xy-5y-3x=1\ \ ,\ \ \ 2xy-3x=1+4y\ ,\\\\x\cdot (2y-3)=1+5y\ \ ,\ \ \ \bf x=\dfrac{5y+1}{2y-3}$  

Теперь изменим обозначения. Заменим "у" на "х" и наоборот, "х" на

"у" . Получим обратную функцию:   $\bf y=\dfrac{5x+1}{2x-3}$   .

b) Графики взаимно-обратных функций симметричны относительно биссектрисы 1 и 3 координатных углов . Смотри рисунок .