Question

Высш. мат.
Помогите пожалуйста решить задание коши. Очень надо. Отдаю последние баллы)

y''=32sin^3y cosy = 0 при y(1) = pi/2, y'(1) = 4

Answer 1

Ответ:

$y''=32\, sin^3y\cdot cosy\ \ ,\ \ \ y(1)=\dfrac{\pi}{2}\ ,\ y'(1)=4$  

Дифф. ур-е 2 порядка, допускающее понижение порядка .

$\displaystyle y'=p(y)\ \ ,\ \ y''=p\, \dfrac{dp}{dy}\\\\p\, \dfrac{dp}{dy}=32\, sin^3y\cdot cosy\ \ ,\ \ \ \int p\cdot dp=32\int sin^3y\cdot \underbrace{cosy\, dy}_{d(siny)}\\\\\\\frac{p^2}{2}=8\cdot sin^4y+C_1^*\ \ ,\ \ \ (y')^2=16\cdot sin^4y+C_1\ \ \ \ (\ C_1=2C_1^*\ )$

Подставим начальные условия  и найдём С₁ .

$\displaystyle y'(1)=4\ \ \to \ \ (y'(1))^2=16\ \ ,\ \ 16=16\cdot sin^4\frac{\pi }{2}+C_1\ \ ,\ \ 16=16+C_1\ ,\\\\C_1=0\\\\\frac{dy}{dx}=\sqrt{16\cdot sin^4y+0}\ \ ,\ \ \frac{dy}{dx}=4\cdot sin^2y\ \ ,\ \ \int \frac{dy}{sin^2y}=4\int dx\ \ ,\\\\\\-ctg\, y=4x+C_2$  

Ещё раз подставим начальные условия и найдём С₂ .

$\displaystyle y(1)=\frac{\pi}{2}\ \ ,\ \ C_2=-4x-ctgy=-4\cdot 1-ctg\frac{\pi }{2}=-4-0=-4\\\\ctgy=-4x-C_2\ \ ,\ \ ctgy=-4x\ \Rightarrow \ \ \ y=arcctg(-4x)\ \ ,\\\\\boldsymbol{y=\pi -arcctg(4x)}$  

Нашли частное решение диффер. уравнения 2 порядка , удовлетворяющее заданным начальным условиям ( задачу Коши ) .