Question

Исследовать числовую последовательность на ограниченность:
$a_n = \frac{100n}{n^2+16}$.

Answer 1

Ответ:

Последовательность ограничена.

Пошаговое объяснение:

Разделив числитель и знаменатель дроби на n, запишем общий член последовательности виде

                             $a_n=\dfrac{100n}{n^2+16}=\dfrac{100}{n+\frac{16}{n}}.$

Для оценки знаменателя этой дроби воспользуемся неравенством Коши между средним арифметическим и средним геометрическим двух положительных чисел:

                                          $\dfrac{a+b}{2}\ge\sqrt{ab}.$

Имеем:

                               $n+\dfrac{16}{n}\ge 2\sqrt{n\cdot \dfrac{16}{n}};\ n+\dfrac{16}{n}\ge 8.$

Отсюда

                                  $\dfrac{100}{n+\frac{16}{n}}\le\dfrac{100}{8}=\dfrac{25}{2}=12,5.$

Кстати, поскольку неравенство Коши превращается в равенство при  a=b, полученную оценку улучшить нельзя:

                                                $a_4=12,5.$

Итак, мы доказали, что

                                                  $a_n\le 12,5,$

а поскольку  

                                                      $a_n > 0,$

доказанное неравенство можно записать в виде

                                                    $|a_n|\le 12,5.$

Таким образом, ограниченность последовательности доказана.

Да, кстати, обратите внимание, что все преобразования законны благодаря положительности n (ведь n - натуральное число).