Question

исследуйте функцию и постройте ее график y=0.125(x^3-12x)

Answer 1

Ответ:

Экстремумы :

x = 2  точка минимума

x = -2   точка максимума

Промежутки монотонности :

Возрастает   когда $x\in (- \infty ~ ; ~ - 2 ] \cup [2 ~; ~ \infty )$

Убывает когда    $x\in [~- 2 ~; ~2~]$

Объяснение:

Исследуйте функцию и постройте ее график

y=0.125·(x³-12x)

Находим промежутки монотонности

$y '=\Big( 0,125(x^3 - 12x ) \Big) ' = 0,125(3x^2 -12)$

$3x^2 - 12 = 3(x^2-4) = 3(x-2)(x+2)$

$\setlength{\unitlength}{23mm}\begin{picture}(1,1) \linethickness{0.2mm} \put(0.88,-0.3) {\sf - 2} \put(1 ,0.1){ \LARGE \text{~~~ ---} } \put(.1 ,0.1){ \Large \text{~~ +} } \put(2.1 ,0.1){ \Large \text{ ~~+} } \put(1,0){\circle*{0.05}} \put(2,-0.3) {\sf 2}\put(2.05,0){\circle*{0.05}} \put(1,0.3) \ \put(0,0){\vector (1,0){3}} \end{picture}$

Выходит что функция :

$\LARGE \boldsymbol{ \Uparrow }$ Возрастает   когда $x\in (- \infty ~ ; ~ - 2 ] \cup [2 ~; ~ \infty )$

$\LARGE \boldsymbol{ \Downarrow }$    Убывает когда    $x\in [~- 2 ~; ~2~]$

Находим экстремумы (точки перегиба)

$y _{min}=y(2) = \dfrac{1}{8}(8 - 24) = \dfrac{1}{8}\cdot (-16) = - 2$

$y _{max}= y(-2) =\dfrac{1}{8}( -8 + 24) = 2$