Question

cosx+cos2x+cos3x>0 можете помочь?​

Answer 1

Ответ:

$\frac{2}{3}\pi +2\pi n < x < \frac{3}{4}\pi +2\pi n ~ , ~ n\in \mathbb Z$

Объяснение:

Вспомним :

$\cos a + \cos b = 2\cos \dfrac{a+b}{2} \cdot \cos \dfrac{a-b}{2}$

Применим данную формулу

$\displaystyle \cos x + \cos 2x + \cos 3x > 0 \\\\ (\cos 3x + \cos x )+\cos 2x > 0 \\\\ 2\cos \frac{3x+x}{2}\cdot \cos\frac{3x-2}{2} + \cos 2x > 0 \\\\ 2\cos 2x \cdot \cos x + \cos 2x > 0 \\\\ \cos2x (2\cos x +1) > 0$

Подставим

$\bullet ~~ \cos 2x = 2\cos ^2 x - 1$

$\displaystyle (2 \cos ^22x - 1) (2\cos x +1) > 0$

Сделаем замену

$\cos x = t ~~ , ~~ \cos ^2x = t ^2$

$(2t^2 -1)(2t+1) > 0$

$znaki : --- (-\sqrt{2} /2) +++ (-1/2) --- (\sqrt{2}/2 )+++ > _x \\ ~~ \hspace{9em} \pmb{//////} \hspace{ 10.5 em}\pmb{//////}$

Выходит :  $-\sqrt{2}/2 < t < 1/2 ~~~ ; ~~~ t > \sqrt{2}/2$

Подставим  $t= \cos x$

$\left [\begin{array}{l} -\dfrac{\sqrt{2} }{2} < \cos x < -\dfrac{1}{2} \\\\ \cos x > \dfrac{\sqrt{2} }{2} \end{array} \right. \\\\\\\\ \left [\begin{array}{l} \left \{\begin{array}{l} \cos x > -\dfrac{\sqrt{2} }{2} \\\\ \cos x < -\dfrac{1}{2} \end{array} \\\\- \arccos\frac{\sqrt{2} }{2}+ 2\pi n < x < \arccos\frac{\sqrt{2} }{2} + 2\pi n \end{array} \right.$

$\left [\begin{array}{l} \left \{\begin{array} -\arccos(-\frac{\sqrt{2} }{2} )+ 2\pi n < x < \arccos(-\frac{\sqrt{2} }{2} )+2\pi n\\\\ \arccos (-\frac{1}{2} )+ 2\pi n < x < 2\pi -\arccos (-\frac{1}{2} )+ 2\pi n \end{array}\\\\ -\arccos\frac{\sqrt{2} }{2}+ 2\pi n < x < \arccos\frac{\sqrt{2} }{2} + 2\pi n ~, ~ n \in \mathbb Z \end{array} \right.$

$\left [\begin{array}{l} \left \{ \begin{array}-\frac{3\pi }{4} + 2\pi n < x < \frac{3\pi }{4} +2\pi n\\\\ \frac{2}{3}\pi + 2\pi n < x < 2\pi -\frac{2}{3}\pi + 2\pi n \end{array}\\\\ -\frac{\pi }{4} + 2\pi n < x < \frac{\pi }{4} + 2\pi n ~, ~ n \in \mathbb Z \end{array} \right.$

$\left [\begin{array}{l} \left \{ \begin{array}{l} -\frac{3\pi }{4} + 2\pi n < x < \frac{3\pi }{4} +2\pi n\\\\ \frac{2}{3}\pi + 2\pi n < x < \frac{4}{3}\pi + 2\pi n \end{array}\\\\ -\frac{\pi }{4} + 2\pi n < x < \frac{\pi }{4} + 2\pi n ~, ~ n \in \mathbb Z \end{array} \right.$

Отобразив на единичной окружности данные решения ,  можно понять , что  решение данного неравенства является неравенство

$\frac{2}{3}\pi +2\pi n < x < \frac{3}{4}\pi +2\pi n ~ , ~ n\in \mathbb Z$