Question

Кут між висотами паралелограма, проведеними з вершини гострого кута паралелограма, дорівнює тупому куту паралелограма.
Доведення: ​

Answer 1

Дано:

ABCD-паралелограм,

∠ABC-тупий,

BM, BN - висоти паралелограма.

Довівши:

∠MBN=∠C.

Доказ:

1-й спосіб

1) розглянемо трикутник NBC-прямокутний (∠BNC=90º, оскільки BN — висота паралелограма).

Так як сума гострих кутів прямокутного трикутника дорівнює 90º, то ∠NBC+∠c=90º. Отже, ∠NBC=90º - ∠C.

2) так як BM — висота паралелограма, то ∠MBC=90º.

∠MBC=∠MBN+∠NBC.

Звідси, ∠MBN=90º - ∠NBC.

Так як ∠NBC=90º - ∠C,

∠MBN=90º-(90º-∠C)=90º-90º+∠C=∠C.

Що і потрібно було довести.

2-й спосіб

1)∠C+∠D=180° (як сума внутрішніх односторонніх кутів при AD∥BC і січної CD).

Значить, ∠C = 180° - ∠D.

2) Сума кутів чотирикутника дорівнює 360°.

У чотирикутник MBND =BMD + =BND=90°+90°=180°.

Отже, ∠MBN + ∠D=360°-180°=180°.

Звідси ∠MBN=180°-∠D=∠C.

Що і потрібно було довести.