Question

Вычислить предел, используя второй замечательный предел: ​

Answer 1

Ответ:

$\displaystyle \bf \lim_{x \to \infty} \left(\frac{x}{x-3}\right)^{x-5}=e^3$

Пошаговое объяснение:

Вычислить предел, используя второй замечательный предел: ​

$\displaystyle \bf \lim_{x \to \infty} \left(\frac{x}{x-3}\right)^{x-5}$

При х → ∞ основание степени стремится к 1, а показатель - к бесконечности. Неопределенность $1^{\infty}$.

Преобразуем функцию, чтобы использовать второй замечательный предел:

$\boxed {\displaystyle \bf \lim_{x \to \infty} \left(1+\frac{1}{x}\right)^{x}=e }$

$\displaystyle \bf \lim_{x \to \infty} \left(\frac{x}{x-3}\right)^{x-5}= \lim_{x \to \infty} \left(\frac{x-3+3}{x-3}\right)^{x-5}= \lim_{x \to \infty} \left(1+\frac{3}{x-3}\right)^{x-5}=\\\\\\ \lim_{x \to \infty} \left(\left(1+\frac{3}{x-3}\right)^{\frac{x-3}{3} }\right)^{(\frac{3}{x-3})\cdot x-5}= \lim_{x \to \infty} \left(\left(1+\frac{3}{x-3}\right)^{\frac{x-3}{3} }\right)^{(\frac{3x-15}{x-3})}$

Так как   $\displaystyle \bf \frac{3}{x-3} \to0$   при х → ∞, то

$\displaystyle \bf \lim_{x \to \infty}\left(1+\frac{3}{x-3}\right)^{\frac{x-3}{3} }\right)=e$

Учитывая, что

   $\displaystyle \bf \lim_{x \to \infty} \frac{3x-15}{x-3}= \lim_{x \to \infty} \frac{3-\frac{15}{x} }{1-\frac{3}{x} } =3$  ,

то получим

$\displaystyle \bf \lim_{x \to \infty} \left(\frac{x}{x-3}\right)^{x-5}=e^3$