Question

Вычислить сумму :

2²⁰-2¹⁹-2¹⁸-...-2-1.​

Answer 1

$2^{20}-2^{19}-2^{18}-\ldots-2-1$

Первый способ. Решать можно по цепочке следующим образом:

$2^{20}-2^{19}=2^{19}\cdot2-2^{19}=2^{19}\cdot(2-1)=2^{19}\cdot1=2^{19}$

$2^{19}-2^{18}=2^{18}\cdot2-2^{18}=2^{18}\cdot(2-1)=2^{18}\cdot1=2^{18}$

$2^{18}-2^{17}=2^{17}\cdot2-2^{17}=2^{17}\cdot(2-1)=2^{17}\cdot1=2^{17}$

...

$2^3-2^2=2^2\cdot2-2^2=2^2\cdot(2-1)=2^2\cdot1=2^2$

$2^2-2=2\cdot2-2=2\cdot(2-1)=2\cdot1=2$

$2-1=1$

Второй способ. Применяя формулу суммы первых n членов геометрической прогрессии:

$S_n=\dfrac{b_1(q^n-1)}{q-1}$

Перепишем выражение в виде:

$2^{20}-2^{19}-2^{18}-\ldots-2-1=2^{20}-(2^{19}+2^{18}+\ldots+2+1)$

Заметим, что в скобках записана сумма первых 20 членов геометрической прогрессии с первым членом $2^{19}$ и знаменателем 1/2.

Получим:

$2^{20}-(2^{19}+2^{18}+\ldots+2+1)=2^{20}-\dfrac{2^{19}\cdot\left(\left(\dfrac{1}{2}\right)^{20}-1\right) }{\frac{1}{2}-1 } =$

$=2^{20}-\dfrac{2^{19}\cdot\left(\dfrac{1}{2^{20}}-1\right) }{-\frac{1}{2} } =2^{20}+2\cdot2^{19}\cdot\left(\dfrac{1}{2^{20}}-1\right) =$

$=2^{20}+2^{20}\cdot\left(\dfrac{1}{2^{20}}-1\right) =2^{20}+1-2^{20}=1$

Ответ: 1