Question

Помогите, пожалуйста, найти дифференциал функции…

Answer 1

Ответ:

1.   $\displaystyle \bf dy=\frac{1}{2\sqrt{x+5}(x+6) } dx$

2.   $\displaystyle \bf dy=\left(\frac{x^3}{cos^2x} +3x^2tg\;x\right)dx$

3.   $\displaystyle \bf dy=2x\;cos(x^2+2)\;dx$

4.   $\displaystyle \bf dy=\frac{\frac{arccos\;x}{2\sqrt{x} } +\frac{\sqrt{x} }{\sqrt{1-x^2} } }{6arccos^2x} \;dx$

Пошаговое объяснение:

Найти дифференциал функции.

• Дифференциал функции равен произведению производной функции на дифференциал независимой переменной:
• dy = f '(x)dx.

1.   $\displaystyle \bf y=arctg\sqrt{x+5}$

Найдем производную.

Здесь производная сложной функции.

Нам понадобятся формулы:

$\boxed {\displaystyle \bf (arctg\;u)'=\frac{u'}{1+u^2} ;\;\;\;\;\;(u^n)'=nx^{n-1}u';\;\;\;\;\;C'=0}$

$\displaystyle \bf y'=(arctg\sqrt{x+5})'=\frac{(\sqrt{x+5})' }{1+(x+5)} =\\\\=\frac{\frac{1}{2}(x+5)^{\frac{1}{2}-1 } (x+5)'}{x+6} =\frac{\frac{1}{2}(x+5)^{-\frac{1}{2}}\cdot1 }{x+6} =\\\\=\frac{1}{2\sqrt{x+5}(x+6) }$

$\displaystyle \bf dy=\frac{1}{2\sqrt{x+5}(x+6) } dx$

2.   $\displaystyle \bf y=tg\;x\cdot{x^3}$

Производная произведения:

$\boxed {\displaystyle \bf (uv)'=u'v+uv'}\;\;\;\;\;$

Еще нужна формула:   $\boxed {\displaystyle \bf (tg\;x)'=\frac{1}{cos^2x} }\;\;\;\;\;$

$\displaystyle \bf y'=(tg\;x)'\cdot{x^3}+tg\;x\cdot{(x^3)'}=\frac{x^3}{cos^2x} +3x^2tg\;x$

$\displaystyle \bf dy=\left(\frac{x^3}{cos^2x} +3x^2tg\;x\right)dx$

3.   $\displaystyle \bf y=sin(x^2+2)$

Производная сложной функции:

$\boxed {\displaystyle \bf (sin\;u)'=cos\;u\cdot{u'}}\;\;\;\;\;$

$\displaystyle \bf y'=cos(x^2+2)\cdot(x^2+2)'=cos(x^2+2)\cdot2x$

$\displaystyle \bf dy=2x\;cos(x^2+2)\;dx$

4.   $\displaystyle \bf y=\frac{\sqrt{x} }{6\;arccos\;x}$

Производная частного:

$\boxed {\displaystyle \bf \left(\frac{u}{v} \right)'=\frac{u'v-uv'}{v^2} }\;\;\;\;\;$

Еще нужна формула:   $\boxed {\displaystyle \bf (arccos\;x)'=-\frac{1}{\sqrt{1-x^2} } }\;\;\;\;\;$

$\displaystyle \bf y'=\frac{1}{6} \cdot\frac{(\sqrt{x} )'arccos\;x-\sqrt{x} (arccos\;x)'}{arccos^2x} =\\\\=\frac{1}{6}\cdot\frac{\frac{1}{2}x^{-\frac{1}{2} }arccos\;x+\frac{\sqrt{x} }{\sqrt{1-x^2} } }{arccos^2x} \\\\=\frac{\frac{arccos\;x}{2\sqrt{x} } +\frac{\sqrt{x} }{\sqrt{1-x^2} } }{6arccos^2x}$

$\displaystyle \bf dy=\frac{\frac{arccos\;x}{2\sqrt{x} } +\frac{\sqrt{x} }{\sqrt{1-x^2} } }{6arccos^2x} \;dx$

#SPJ1